Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo principal é limite de função na forma “base vai a ∞ e expoente vai a 0”, e vamos usar transformação logarítmica e a Regra de L’Hospital para resolver.
Passo 2
Definimos
e tomamos o logaritmo natural para tratar a indeterminação:
Passo 3
No limite acima, tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a
. Logo temos uma forma
e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a
:
– Derivada do numerador:
– Derivada do numerador:
– Derivada do denominador:
Portanto
Passo 5
Simplificando a expressão temos
Logo o limite do logaritmo é
.
Passo 6
Voltando à
, temos