Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(a^{x} \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}, a>0

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(a^{x}\,\frac1{x}\Bigr)^{\frac1{x}}, \quad a>0.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de expressão na forma exponencial. Para lidar com essa forma, a gente normalmente faz uma transformação logarítmica e, se aparecer uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty} ou \tfrac{0}{0}, aplica a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(a^{x}\,\frac1{x}\Bigr)^{\frac1{x}}.
Como a^x\frac1x>0 para x grande, podemos tomar logaritmo natural e, se existir o limite de \ln da expressão, a gente recupera L por
\ln L = \lim_{x\to+\infty}\ln\Bigl[\bigl(a^{x}\tfrac1{x}\bigr)^{\tfrac1{x}}\Bigr] = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\,\ln\Bigl(a^{x}\frac1{x}\Bigr).

Passo 3

Dentro do logaritmo temos
\ln\Bigl(a^{x}\frac1{x}\Bigr) = \ln\bigl(a^x\bigr) - \ln x = x\ln a - \ln x.
Então
\ln L = \lim_{x\to+\infty}\frac{x\ln a - \ln x}{x} = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\ln a - \frac{\ln x}{x}\Bigr) = \ln a - \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}.

Passo 4

Agora calculamos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}.
Isso é uma indeterminação \tfrac{\infty}{\infty}, então aplicamos L’Hôpital: derivada de cima é \tfrac1{x} e debaixo é 1. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\tfrac1{x}}{1} = \lim_{x\to+\infty}\frac1{x} = 0.

Passo 5

Substituindo de volta em \ln L:
\ln L = \ln a - 0 = \ln a.
Portanto
L = e^{\ln a} = a.

Resposta

a

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