Exercício 39. Determine os pontos de descontinuidade de:
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de descontinuidade da função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
  • A expressão algébrica de f é \dfrac{x^{2}-1}{x-1}.
  • Há um denominador (x-1) que pode anular-se para algum valor de x.
  • A tarefa é listar os pontos onde f não é contínua (se houver).

Passo 2

Antes de resolver, vamos lembrar claramente o que significa “função contínua num ponto”. Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se (três condições):
  1. f(a) está definida.
  2. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe.
  3. \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Se alguma dessas falhar, f é descontínua em a. Há vários tipos de descontinuidade; aqui vamos verificar se a função está ou não definida no ponto problemático e se o limite existe — isso permite classificar a descontinuidade (por exemplo, removível se o limite existe mas f(a) está indefinido ou diferente).

Passo 3

Vamos identificar onde a expressão dada está explicitamente indefinida pela forma algébrica (antes de qualquer simplificação): o denominador não pode ser zero. Resolver
x-1=0
x=1.
Portanto, pela forma original, a função não está definida em x=1. Logo o domínio natural da expressão é
\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Isso já indica que x=1 é um candidato a ponto de descontinuidade (mas ainda precisamos verificar o limite para classificar o tipo).

Passo 4

Para entender o comportamento de f perto de x=1, fatoramos o numerador, usando a identidade “diferença de quadrados”:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo na expressão de f,
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.
Para todo x tal que x\neq1 podemos cancelar o fator comum (x-1) e obter
\text{para }x\neq1:\qquad f(x)=x+1.
Isso significa que, salvo no ponto x=1 onde a expressão original é indefinida, a função se comporta exatamente como a função afim x+1.

Passo 5

Calculemos o limite quando x tende a 1. Como para x\neq1 vale f(x)=x+1, temos
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1} (x+1).
A função x+1 é contínua em 1, então o limite é simplesmente a substituição:
\lim_{x\to1} (x+1)=1+1=2.
Portanto o limite existe e vale 2.

Passo 6

Agora aplicamos a definição de continuidade em x=1:
  • A condição 1 falha, porque f(1) não está definida (o denominador zero impede calcular f(1) pela expressão dada).
  • A condição 2 é verdadeira: o limite existe e vale 2.
  • A condição 3 não pode ser satisfeita porque f(1) não existe.
Conclusão: f é descontínua em x=1. Como o limite existe mas a função não está definida lá, essa descontinuidade é do tipo removível (um “buraco” no gráfico). Se redefiníssemos
f(1):=2,
a função ficaria contínua em x=1.

Passo 7

Verificação em outros pontos: para qualquer a\neq1 a função coincide com x+1 numa vizinhança de a, e x+1 é contínua em todos os reais, logo não há mais pontos de descontinuidade além de x=1.

Resposta

Ponto de descontinuidade: x=1 (descontinuidade removível; \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=2).

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