Exercício 39. Determine os pontos de descontinuidade de:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de descontinuidade da função
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
- A expressão algébrica de
é . - Há um denominador
que pode anular-se para algum valor de . - A tarefa é listar os pontos onde
não é contínua (se houver).
Passo 2
Antes de resolver, vamos lembrar claramente o que significa “função contínua num ponto”. Uma função
é contínua em um ponto
se e somente se (três condições):
-
está definida. -
existe. -
.
Se alguma dessas falhar,
é descontínua em
. Há vários tipos de descontinuidade; aqui vamos verificar se a função está ou não definida no ponto problemático e se o limite existe — isso permite classificar a descontinuidade (por exemplo, removível se o limite existe mas
está indefinido ou diferente).
Passo 3
Vamos identificar onde a expressão dada está explicitamente indefinida pela forma algébrica (antes de qualquer simplificação): o denominador não pode ser zero. Resolver
dá
Portanto, pela forma original, a função não está definida em
. Logo o domínio natural da expressão é
Isso já indica que
é um candidato a ponto de descontinuidade (mas ainda precisamos verificar o limite para classificar o tipo).
Passo 4
Para entender o comportamento de
perto de
, fatoramos o numerador, usando a identidade “diferença de quadrados”:
Substituindo na expressão de
,
Para todo
tal que
podemos cancelar o fator comum
e obter
Isso significa que, salvo no ponto
onde a expressão original é indefinida, a função se comporta exatamente como a função afim
.
Passo 5
Calculemos o limite quando
tende a
. Como para
vale
, temos
A função
é contínua em
, então o limite é simplesmente a substituição:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Agora aplicamos a definição de continuidade em
:
- A condição 1 falha, porque
não está definida (o denominador zero impede calcular pela expressão dada). - A condição 2 é verdadeira: o limite existe e vale
. - A condição 3 não pode ser satisfeita porque
não existe.
Conclusão:
é descontínua em
. Como o limite existe mas a função não está definida lá, essa descontinuidade é do tipo removível (um “buraco” no gráfico). Se redefiníssemos
a função ficaria contínua em
.
Passo 7
Verificação em outros pontos: para qualquer
a função coincide com
numa vizinhança de
, e
é contínua em todos os reais, logo não há mais pontos de descontinuidade além de
.
Resposta
Ponto de descontinuidade:
(descontinuidade removível;
).