Exercício 40. Classifique a descontinuidade de:
em
.
Passo 1
O enunciado pede: "Classificar a descontinuidade de
em
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
definida para todo . - O ponto de interesse é
, onde a expressão não está definida.
Passo 2
Primeiro é preciso saber o que significa cada tipo comum de descontinuidade (explicação passo a passo, sem jargão complicado):
- Descontinuidade removível: ocorre quando
existe e é finito, mas ou não está definido ou é diferente desse limite. Nesse caso dá para “consertar” a função definindo igual ao limite. - Descontinuidade de salto (ou de primeira espécie): ocorre quando os limites laterais existem e são finitos, mas
. - Descontinuidade infinita (ou assintótica): ocorre quando, pelo menos por um dos lados, o valor de
cresce em módulo sem limite quando se aproxima de , isto é, um dos limites laterais é ou (ou ambos). Em linguagem comum: há uma assíntota vertical em . - (Há também descontinuidades essenciais oscilantes, mas não precisamos delas aqui.)
Para classificar, vamos calcular os limites laterais em
.
Passo 3
Calcular o limite à direita
.
Raciocínio intuitivo: se
e vai ficando cada vez menor (por exemplo
com
), então
fica cada vez maior e positivo. Logo espera-se
.
Formalizando com a definição de limite para
: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, se
, então
. Escolhendo
, temos: se
então
e portanto
. Assim a condição da definição é satisfeita, e concluímos
Passo 4
Calcular o limite à esquerda
.
Raciocínio intuitivo: se
e
(por exemplo
com
), então
é um número negativo com módulo cada vez maior, ou seja, tende a
.
Formalizando com a definição de limite para
: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, se
, então
. Para dado
escolha
. Se
então
e como
é negativo segue
. Assim a definição é satisfeita, e concluímos
Passo 5
Interpretando os resultados:
- O limite à direita é
. - O limite à esquerda é
.
Ambos os limites laterais não são números finitos; eles divergem em sinais opostos. Além disso,não está definida (a expressão não existe). Portanto não é descontinuidade removível nem de salto (porque para salto os limites laterais teriam de ser números finitos diferentes). O comportamento é de crescimento sem limite em módulo ao aproximar-se de : isso é uma descontinuidade infinita (assintótica).
Passo 6
Conclusão prática e dica de prova: na resposta escreva que em
a função tem uma “descontinuidade infinita” ou “assintótica” (às vezes chamada também de “discontinuidade essencial do tipo infinito”), justificando brevemente com os limites laterais
e
. Isso é suficiente numa prova curta.
Resposta
A função
tem em
uma descontinuidade infinita (assintótica; discontinuidade essencial do tipo infinito).