Exercício 40. Classifique a descontinuidade de:
f(x)=\frac{1}{x}
em x=0.

Passo 1

O enunciado pede: "Classificar a descontinuidade de f(x)=\dfrac{1}{x} em x=0".
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x} definida para todo x\neq0.
  • O ponto de interesse é x=0, onde a expressão \dfrac{1}{x} não está definida.

Passo 2

Primeiro é preciso saber o que significa cada tipo comum de descontinuidade (explicação passo a passo, sem jargão complicado):
  • Descontinuidade removível: ocorre quando \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, mas ou f(a) não está definido ou f(a) é diferente desse limite. Nesse caso dá para “consertar” a função definindo f(a) igual ao limite.
  • Descontinuidade de salto (ou de primeira espécie): ocorre quando os limites laterais existem e são finitos, mas \lim_{x\to a^-} f(x)\neq \lim_{x\to a^+} f(x).
  • Descontinuidade infinita (ou assintótica): ocorre quando, pelo menos por um dos lados, o valor de f(x) cresce em módulo sem limite quando x se aproxima de a, isto é, um dos limites laterais é +\infty ou -\infty (ou ambos). Em linguagem comum: há uma assíntota vertical em x=a.
  • (Há também descontinuidades essenciais oscilantes, mas não precisamos delas aqui.)
Para classificar, vamos calcular os limites laterais em 0.

Passo 3

Calcular o limite à direita \lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}.
Raciocínio intuitivo: se x>0 e vai ficando cada vez menor (por exemplo x=\tfrac{1}{n} com n\to\infty), então \dfrac{1}{x} fica cada vez maior e positivo. Logo espera-se +\infty.
Formalizando com a definição de limite para +\infty: dizer que \lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty significa que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x<\delta, então \dfrac{1}{x}>M. Escolhendo \delta=\dfrac{1}{M}, temos: se 0<x<\delta então x<\dfrac{1}{M} e portanto \dfrac{1}{x}>M. Assim a condição da definição é satisfeita, e concluímos
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty.

Passo 4

Calcular o limite à esquerda \lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}.
Raciocínio intuitivo: se x<0 e x\to0 (por exemplo x=-\tfrac{1}{n} com n\to\infty), então \dfrac{1}{x} é um número negativo com módulo cada vez maior, ou seja, tende a -\infty.
Formalizando com a definição de limite para -\infty: dizer que \lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty significa que para todo N<0 existe \delta>0 tal que, se -\delta<x<0, então \dfrac{1}{x}<N. Para dado N<0 escolha \delta=\dfrac{1}{|N|}. Se -\delta<x<0 então |x|<\dfrac{1}{|N|} e como x é negativo segue \dfrac{1}{x}<- |N| = N. Assim a definição é satisfeita, e concluímos
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.

Passo 5

Interpretando os resultados:
  • O limite à direita é +\infty.
  • O limite à esquerda é -\infty.
    Ambos os limites laterais não são números finitos; eles divergem em sinais opostos. Além disso, f(0) não está definida (a expressão \dfrac{1}{0} não existe). Portanto não é descontinuidade removível nem de salto (porque para salto os limites laterais teriam de ser números finitos diferentes). O comportamento é de crescimento sem limite em módulo ao aproximar-se de 0: isso é uma descontinuidade infinita (assintótica).

Passo 6

Conclusão prática e dica de prova: na resposta escreva que em x=0 a função tem uma “descontinuidade infinita” ou “assintótica” (às vezes chamada também de “discontinuidade essencial do tipo infinito”), justificando brevemente com os limites laterais \lim_{x\to0^+}1/x=+\infty e \lim_{x\to0^-}1/x=-\infty. Isso é suficiente numa prova curta.

Resposta

A função f(x)=\dfrac{1}{x} tem em x=0 uma descontinuidade infinita (assintótica; discontinuidade essencial do tipo infinito).

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