Exercício 39. Escolha a normalização tal que
e conclua que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o polinômio
(polinômio de grau 2) sob a normalização
Informações relevantes dadas ou implicadas:
- Queremos um polinômio de grau 2, isto é,
tem a forma geral . - A normalização impõe o valor em
: . - Presume-se que
é o segundo polinômio de Legendre (polinômio ortogonal no intervalo com peso ), portanto ele satisfaz as propriedades padrão desses polinômios (por exemplo, ortogonalidade e recorrência). Não foi pedido um método específico.
Passo 2
Vou usar a relação de recorrência clássica dos polinômios de Legendre, que é uma ferramenta simples e direta para obter
a partir de
e
. A relação de recorrência é
onde:
-
é um inteiro não negativo; -
é o polinômio de Legendre de grau , escolhido com a normalização .
Essa fórmula diz como construira partir dos dois polinômios anteriores. Ela é uma propriedade padrão dos polinômios de Legendre (pode ser obtida do gerador ou de manipulações integrais), e aqui vou usá-la diretamente.
Passo 3
Primeiro precisamos dos dois polinômios iniciais
e
.
- Para
: é um polinômio de grau zero (constante). Pela normalização segue imediatamente
- Para
: é um polinômio de grau 1, então tem a forma . Uma propriedade dos polinômios de Legendre é que deve ser ortogonal a no intervalo com peso 1, isto é,
Substituindo
e
,
Da ortogonalidade temos
, logo
. Assim
. Aplicando a normalização
obtemos
. Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a relação de recorrência para
. Colocando
em
obtemos
Substituindo
e
,
Dividindo por
,
Passo 5
Verificação da normalização: calcular
portanto a normalização pedida
está satisfeita.
Passo 6
(Como checagem alternativa — opcional) Pode-se também obter
diretamente a partir da fórmula de Rodrigues, que gera
:
Para
:
Calculando as derivadas:
e
. Portanto
o que confirma o resultado anterior.