Exercício 39. Escolha a normalização tal que
P_{2}(1)=1,
e conclua que
P_{2}(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^{2}-1\right) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio P_{2}(x) (polinômio de grau 2) sob a normalização
P_{2}(1)=1.
Informações relevantes dadas ou implicadas:
  • Queremos um polinômio de grau 2, isto é, P_{2}(x) tem a forma geral ax^{2}+bx+c.
  • A normalização impõe o valor em x=1: P_{2}(1)=1.
  • Presume-se que P_{2} é o segundo polinômio de Legendre (polinômio ortogonal no intervalo [-1,1] com peso 1), portanto ele satisfaz as propriedades padrão desses polinômios (por exemplo, ortogonalidade e recorrência). Não foi pedido um método específico.

Passo 2

Vou usar a relação de recorrência clássica dos polinômios de Legendre, que é uma ferramenta simples e direta para obter P_{2} a partir de P_{0} e P_{1}. A relação de recorrência é
(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)\,x\,P_{n}(x) - n\,P_{n-1}(x),
onde:
  • n é um inteiro não negativo;
  • P_{n}(x) é o polinômio de Legendre de grau n, escolhido com a normalização P_{n}(1)=1.
    Essa fórmula diz como construir P_{n+1} a partir dos dois polinômios anteriores. Ela é uma propriedade padrão dos polinômios de Legendre (pode ser obtida do gerador ou de manipulações integrais), e aqui vou usá-la diretamente.

Passo 3

Primeiro precisamos dos dois polinômios iniciais P_{0} e P_{1}.
  • Para n=0: P_{0} é um polinômio de grau zero (constante). Pela normalização P_{0}(1)=1 segue imediatamente
P_{0}(x)=1.
  • Para n=1: P_{1} é um polinômio de grau 1, então tem a forma P_{1}(x)=ax+b. Uma propriedade dos polinômios de Legendre é que P_{1} deve ser ortogonal a P_{0} no intervalo [-1,1] com peso 1, isto é,
\int_{-1}^{1} P_{1}(x)\,P_{0}(x)\,dx = 0.
Substituindo P_{0}=1 e P_{1}=ax+b,
\int_{-1}^{1} (ax+b)\,dx = \left[a\frac{x^{2}}{2}+bx\right]_{-1}^{1} = a\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+b(1-(-1)) = 2b.
Da ortogonalidade temos 2b=0, logo b=0. Assim P_{1}(x)=ax. Aplicando a normalização P_{1}(1)=1 obtemos a=1. Portanto
P_{1}(x)=x.

Passo 4

Agora aplicamos a relação de recorrência para n=1. Colocando n=1 em
(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)\,x\,P_{n}(x) - n\,P_{n-1}(x)
obtemos
2\,P_{2}(x) = 3\,x\,P_{1}(x) - 1\cdot P_{0}(x).
Substituindo P_{1}(x)=x e P_{0}(x)=1,
2\,P_{2}(x) = 3x\cdot x - 1 = 3x^{2}-1.
Dividindo por 2,
P_{2}(x)=\frac{1}{2}\left(3x^{2}-1\right).

Passo 5

Verificação da normalização: calcular P_{2}(1)
P_{2}(1)=\frac{1}{2}\left(3\cdot 1^{2}-1\right)=\frac{1}{2}(3-1)=1,
portanto a normalização pedida P_{2}(1)=1 está satisfeita.

Passo 6

(Como checagem alternativa — opcional) Pode-se também obter P_{2} diretamente a partir da fórmula de Rodrigues, que gera P_{n}:
P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n}.
Para n=2:
P_{2}(x)=\frac{1}{2^{2}\,2!}\frac{d^{2}}{dx^{2}}(x^{2}-1)^{2} =\frac{1}{8}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\big(x^{4}-2x^{2}+1\big).
Calculando as derivadas: \frac{d}{dx}(x^{4}-2x^{2}+1)=4x^{3}-4x e \frac{d^{2}}{dx^{2}}(x^{4}-2x^{2}+1)=12x^{2}-4. Portanto
P_{2}(x)=\frac{1}{8}(12x^{2}-4)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1),
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

P_{2}(x)=\frac{1}{2}\left(3x^{2}-1\right)

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