Exercício 1. Suponha que o potencial seja independente da coordenada azimutal
. Ou seja,
Substitua o resultado anterior na equação de Laplace. Escreva a nova equação obtida.
Passo 1
O enunciado dá uma informação e pede uma operação simples a partir dela. Informações e pedido:
- Informação dada:
. - Pedido: substituir essa informação na equação de Laplace e escrever a nova equação obtida.
Passo 2
Vou escrever a forma da equação de Laplace em coordenadas esféricas, que é a equação onde devemos fazer a substituição. A equação de Laplace para um potencial
em coordenadas esféricas é
Essa expressão representa a soma das segundas derivadas ajustadas ao sistema esférico: a primeira parcela vem da variação radial, a segunda da variação polar (
) e a terceira da variação azimutal (
). A equação de Laplace pede que
.
Passo 3
Agora uso explicitamente a condição fornecida pelo enunciado. Como foi dado que
então a terceira parcela da expressão do Laplaciano (a parcela azimutal) é nula, porque ela é multiplicada por essa derivada.
Passo 4
Eliminando a terceira parcela da expressão, a equação de Laplace reduz-se a duas parcelas (radial e polar) iguais a zero. Escrevendo a equação resultante: