Exercício 1. Suponha que o potencial seja independente da coordenada azimutal \varphi. Ou seja,
\frac{\partial^{2} V}{\partial \varphi^{2}}=0
Substitua o resultado anterior na equação de Laplace. Escreva a nova equação obtida.

Passo 1

O enunciado dá uma informação e pede uma operação simples a partir dela. Informações e pedido:
  • Informação dada: \dfrac{\partial^{2} V}{\partial \varphi^{2}}=0.
  • Pedido: substituir essa informação na equação de Laplace e escrever a nova equação obtida.

Passo 2

Vou escrever a forma da equação de Laplace em coordenadas esféricas, que é a equação onde devemos fazer a substituição. A equação de Laplace para um potencial V(r,\theta,\varphi) em coordenadas esféricas é
\nabla^{2}V= \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} V}{\partial \varphi^{2}}.
Essa expressão representa a soma das segundas derivadas ajustadas ao sistema esférico: a primeira parcela vem da variação radial, a segunda da variação polar ( \theta) e a terceira da variação azimutal ( \varphi). A equação de Laplace pede que \nabla^{2}V=0.

Passo 3

Agora uso explicitamente a condição fornecida pelo enunciado. Como foi dado que
\frac{\partial^{2} V}{\partial \varphi^{2}}=0,
então a terceira parcela da expressão do Laplaciano (a parcela azimutal) é nula, porque ela é multiplicada por essa derivada.

Passo 4

Eliminando a terceira parcela da expressão, a equação de Laplace reduz-se a duas parcelas (radial e polar) iguais a zero. Escrevendo a equação resultante:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)=0.

Resposta

\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right)=0

Exercícios relacionados