Mostre que os coeficientes pares dependem apenas de a_{0}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: foi pedido para mostrar que "os coeficientes pares dependem apenas de a_{0}". Vou interpretar isto no contexto padrão de séries de potências centradas em zero: suponha que
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
é uma solução (formal) de uma equação linear com coeficientes analíticos que são funções pares de x (isto é, cada coeficiente da equação satisfaz c(x)=c(-x)). O objetivo é provar que, sob essa hipótese, todos os coeficientes de índice par a_{2k} são determinados unicamente por a_0 (não dependem de a_1 nem de outros dados).
Informações relevantes extraídas do enunciado (interpretação usada nesta resolução):
  • A série é y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.
  • A equação diferencial linear que gera a recorrência é invariante por x\mapsto -x (coeficientes pares).
  • Queremos mostrar que os a_{2k} são função apenas de a_0.

Passo 2

Ideia principal (paridade da série): qualquer série pode ser separada em parte par e parte ímpar. Definimos
y_{\text{par}}(x)=\frac{y(x)+y(-x)}{2},\qquad y_{\text{ímpar}}(x)=\frac{y(x)-y(-x)}{2}.í
Explicando o que isso significa em termos dos coeficientes: ao substituir a série, obtemos
y_{\text{par}}(x)=\sum_{k=0}^\infty a_{2k} x^{2k}, \qquad y_{\text{ímpar}}(x)=\sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} x^{2k+1}.í
Ou seja, y_{\text{par}} contém exatamente os coeficientes pares a_{2k} e y_{\text{ímpar}}í contém exatamente os ímpares a_{2k+1}. Esta decomposição é sempre válida e é uma ferramenta central.

Passo 3

Propriedade do operador (por que a equação separa as partes par e ímpar): se o operador linear L da equação diferencial tem coeficientes pares (isto é, é invariante por x\mapsto -x), então L preserva a paridade das funções: L aplicada a uma função par dá uma função par; aplicada a uma função ímpar dá uma função ímpar. Portanto, ao aplicar L à decomposição y=y_{\text{par}}+y_{\text{ímpar}}í e usar que L[y]=0, obtemos
L[y_{\text{par}}](x)+L[y_{\text{ímpar}}](x)=0,í
onde L[y_{\text{par}}] é uma função par e L[y_{\text{ímpar}}]í é uma função ímpar. A única forma de somar uma função par com uma ímpar e obter zero identicamente é que ambas sejam nulas separadamente. Logo
L[y_{\text{par}}]=0\qquad\text{e}\qquad L[y_{\text{ímpar}}]=0.í
Isto mostra que as partes par e ímpar satisfazem duas equações independentes (na prática, a mesma equação, mas com condições iniciais diferentes).

Passo 4

Condições iniciais e unicidade: observe os valores em x=0:
y_{\text{par}}(0)=y(0)=a_0,\qquad y_{\text{par}}'(0)=0,
y_{\text{ímpar}}(0)=0,\qquad y_{\text{ímpar}}'(0)=y'(0)=a_1.íí
Portanto a parte par é a única solução da equação L[z]=0 com as condições iniciais z(0)=a_0,\\ z'(0)=0; a parte ímpar é a única solução com z(0)=0,\\ z'(0)=a_1. Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares com coeficientes analíticos (ou mesmo pela construção via série de potências), uma solução é determinada unicamente pelas condições iniciais z(0) e z'(0). Assim a parte par é completamente determinada por a_0 (porque sua condição inicial relevante é z(0)=a_0 e z'(0)=0, sem envolver a_1). Em particular os coeficientes a_{2k} da série de y_{\text{par}} são determinados unicamente por a_0.

Passo 5

Derivando a recorrência (intuição algébrica): outra forma de ver o mesmo é olhar a recorrência obtida ao substituir a série na equação e comparar coeficientes de potências de x. Porque os coeficientes da equação são funções pares, ao agrupar termos por potências aparecerão duas famílias de equações: aquelas que correspondem a potências x^{2k} e aquelas que correspondem a potências x^{2k+1}. As equações que vêm de x^{2k} envolvem somente os coeficientes a_{2m} (evens) e as que vêm de x^{2k+1} envolvem somente os a_{2m+1} (odds). Assim obtém-se uma recorrência que permite calcular a_{2(k+1)} em função apenas dos a_{2m} anteriores, começando em a_0; e uma outra recorrência separada para os ímpares, começando em a_1. Portanto algebraicamente cada coeficiente par é função de a_0 apenas.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar): tome a equação clássica \;y''+y=0\; (coeficientes constantes, portanto pares). Substituindo y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n e igualando coeficientes vem a recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n=0\quad\text{para todo }n\ge0,
ou seja
a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.
Tomando n par dá recorrência entre termos pares: a_{2(k+1)}=-\dfrac{a_{2k}}{(2k+2)(2k+1)}. Começando com a_0 determina-se a_2,a_4,\dots unicamente; tomando n ímpar determina-se a cadeia ímpar a partir de a_1. No caso desta equação o resultado concreto é
a_{2k}=(-1)^k\frac{a_0}{(2k)!}, \qquad a_{2k+1}=(-1)^k\frac{a_1}{(2k+1)!},
o que ilustra exatamente que os pares dependem apenas de a_0.

Passo 7

Conclusão (síntese didática e incentivo): resumindo, por causa da invariância por x\mapsto -x a equação separa as partes par e ímpar da solução; cada parte satisfaz a mesma equação com condições iniciais disjuntas ( y_{\text{par}}'(0)=0, y_{\text{ímpar}}(0)=0í). Pela unicidade da solução dada as condições iniciais, os coeficientes pares a_{2k} são determinados apenas por a_0 e não dependem de a_1. Isso pode ser visto tanto pela decomposição em par/ímpar quanto diretamente nas recorrências obtidas ao comparar coeficientes de potências pares e ímpares.

Resposta

Para todo k\ge0, o coeficiente a_{2k} é determinado unicamente por a_{0}; isto é, os coeficientes pares dependem apenas de a_{0}.

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