Mostre que os coeficientes pares dependem apenas de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: foi pedido para mostrar que "os coeficientes pares dependem apenas de
". Vou interpretar isto no contexto padrão de séries de potências centradas em zero: suponha que
é uma solução (formal) de uma equação linear com coeficientes analíticos que são funções pares de
(isto é, cada coeficiente da equação satisfaz
). O objetivo é provar que, sob essa hipótese, todos os coeficientes de índice par
são determinados unicamente por
(não dependem de
nem de outros dados).
Informações relevantes extraídas do enunciado (interpretação usada nesta resolução):
Informações relevantes extraídas do enunciado (interpretação usada nesta resolução):
- A série é
. - A equação diferencial linear que gera a recorrência é invariante por
(coeficientes pares). - Queremos mostrar que os
são função apenas de .
Passo 2
Ideia principal (paridade da série): qualquer série pode ser separada em parte par e parte ímpar. Definimos
Explicando o que isso significa em termos dos coeficientes: ao substituir a série, obtemos
Ou seja,
contém exatamente os coeficientes pares
e
contém exatamente os ímpares
. Esta decomposição é sempre válida e é uma ferramenta central.
Passo 3
Propriedade do operador (por que a equação separa as partes par e ímpar): se o operador linear
da equação diferencial tem coeficientes pares (isto é, é invariante por
), então
preserva a paridade das funções:
aplicada a uma função par dá uma função par; aplicada a uma função ímpar dá uma função ímpar. Portanto, ao aplicar
à decomposição
e usar que
, obtemos
onde
é uma função par e
é uma função ímpar. A única forma de somar uma função par com uma ímpar e obter zero identicamente é que ambas sejam nulas separadamente. Logo
Isto mostra que as partes par e ímpar satisfazem duas equações independentes (na prática, a mesma equação, mas com condições iniciais diferentes).
Passo 4
Condições iniciais e unicidade: observe os valores em
:
Portanto a parte par é a única solução da equação
com as condições iniciais
; a parte ímpar é a única solução com
. Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares com coeficientes analíticos (ou mesmo pela construção via série de potências), uma solução é determinada unicamente pelas condições iniciais
e
. Assim a parte par é completamente determinada por
(porque sua condição inicial relevante é
e
, sem envolver
). Em particular os coeficientes
da série de
são determinados unicamente por
.
Passo 5
Derivando a recorrência (intuição algébrica): outra forma de ver o mesmo é olhar a recorrência obtida ao substituir a série na equação e comparar coeficientes de potências de
. Porque os coeficientes da equação são funções pares, ao agrupar termos por potências aparecerão duas famílias de equações: aquelas que correspondem a potências
e aquelas que correspondem a potências
. As equações que vêm de
envolvem somente os coeficientes
(evens) e as que vêm de
envolvem somente os
(odds). Assim obtém-se uma recorrência que permite calcular
em função apenas dos
anteriores, começando em
; e uma outra recorrência separada para os ímpares, começando em
. Portanto algebraicamente cada coeficiente par é função de
apenas.
Passo 6
Exemplo concreto (para fixar): tome a equação clássica
(coeficientes constantes, portanto pares). Substituindo
e igualando coeficientes vem a recorrência
ou seja
Tomando
par dá recorrência entre termos pares:
. Começando com
determina-se
unicamente; tomando
ímpar determina-se a cadeia ímpar a partir de
. No caso desta equação o resultado concreto é
o que ilustra exatamente que os pares dependem apenas de
.
Passo 7
Conclusão (síntese didática e incentivo): resumindo, por causa da invariância por
a equação separa as partes par e ímpar da solução; cada parte satisfaz a mesma equação com condições iniciais disjuntas (
,
). Pela unicidade da solução dada as condições iniciais, os coeficientes pares
são determinados apenas por
e não dependem de
. Isso pode ser visto tanto pela decomposição em par/ímpar quanto diretamente nas recorrências obtidas ao comparar coeficientes de potências pares e ímpares.
Resposta
Para todo
, o coeficiente
é determinado unicamente por
; isto é, os coeficientes pares dependem apenas de
.