Exercício 39 Resolva o sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=0 \\ 2 x+2 y-2 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo com três incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=0 \\\\ 2x+2y-2z=0 \end{array}\right.
O que se pede: encontrar todas as soluções (x,y,z) reais que satisfazem simultaneamente essas equações (ou seja, resolver o sistema).

Passo 2

Vamos inspecionar as equações e verificar se elas são independentes. Observa-se que a segunda equação é exatamente o dobro da primeira. Para ver isso, multiplica-se a primeira por 2:
2\cdot(x+y-z)=2x+2y-2z,
que coincide com a segunda equação dada. Portanto as duas equações são dependentes: só temos, na prática, uma equação independente.

Passo 3

Como só existe uma equação efetiva, podemos reduzi-la a:
x+y-z=0.
Agora resolvemos essa equação em termos de duas incógnitas livres. Isolando x, por exemplo:
x = -y + z.
Expliquei passo a passo: para isolar x somou-se -y e adicionou-se z em ambos os lados.

Passo 4

Uma forma prática de descrever todas as soluções é introduzir parâmetros para as incógnitas livres. Escolhe-se:
y=s,\qquad z=t,
onde s,t\in\mathbb{R} (parâmetros livres). Substituindo em x=-y+z obtemos
x = -s + t.

Passo 5

Agora escrevemos a solução geral em função dos parâmetros s e t. A tupla (x,y,z) fica:
(x,y,z)=(-s+t,\; s,\; t).
Podemos reescrever isso como combinação linear separando os parâmetros:
(x,y,z)=s(-1,1,0)+t(1,0,1).
Isto mostra que o espaço de soluções é um subespaço vetorial de dimensão 2, gerado (espalhado) pelos vetores (-1,1,0) e (1,0,1). Observe também que o caso s=t=0 dá a solução trivial (0,0,0), que sempre pertence a sistemas homogêneos.

Passo 6

Para fixar a ideia, alguns exemplos particulares:
  • Se s=1,t=0 obtém-se (x,y,z)=(-1,1,0).
  • Se s=0,t=1 obtém-se (x,y,z)=(1,0,1).
  • Se s=1,t=1 obtém-se (x,y,z)=(0,1,1).

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid (x,y,z)=s(-1,1,0)+t(1,0,1),\\ s,t\in\mathbb{R}\}

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