Exercício 38 Classifique o sistema (única solução, infinitas soluções ou sem solução):
\left\{\begin{array}{l} x+2 y=3 \\ 2 x+4 y=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com duas equações e duas incógnitas e pede para classificá-lo (se tem única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução). As equações são:
\begin{cases} x+2y=3,\\[4pt] 2x+4y=6. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes das incógnitas formam a matriz dos coeficientes
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
  • Termos independentes (lado direito) são \,3 e \,6.
    O que é pedido: determinar qual das três possibilidades vale para este sistema (única solução, infinitas soluções ou sem solução) e, se possível, apresentar a forma geral das soluções.]

Passo 2

Vou explicar duas ideias simples e fundamentais que ajudam a classificar um sistema 2\times2\) como este — não se preocupa, é tranquilo: 1) Método do determinante (método rápido): para um sistema linear \[\begin{cases} a x + b y = e,\\[4pt] c x + d y = f, \end{cases}
a matriz dos coeficientes é \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\]. Se o determinante dessa matriz \[\Delta = ad-bc\] for diferente de zero (\(\Delta\neq0), o sistema tem única solução. Se \Delta=0, pode haver infinitas soluções ou nenhuma: aí é preciso checar consistência (se as duas equações são múltiplas entre si também nos termos independentes).
2) Método da combinação linear / eliminação: ver se a segunda equação é múltipla da primeira (ou não). Se for múltipla exata (inclusive no termo independente), então as equações são dependentes e o sistema reduz a uma única equação — daí surgem infinitas soluções (uma família de soluções). Se for múltipla nos coeficientes mas não no termo independente, o sistema é inconsistente (sem solução).
Vou aplicar essas ideias aqui.]

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema dado:
\Delta = \det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot2.
Faço a conta passo a passo:
1\cdot4 = 4,\qquad 2\cdot2 = 4,
portanto
\Delta = 4-4 = 0.
Como \Delta=0, o sistema NÃO tem garantia de solução única; resta verificar se é consistente (infinitas soluções) ou inconsistente (sem solução).]

Passo 4

Verificar se a segunda equação é múltipla da primeira (coeficientes e termo independente).
Compare a segunda equação 2x+4y=6 com a primeira x+2y=3. Observe que multiplicando a primeira por 2 obtemos:
2\cdot(x+2y)=2\cdot3 \quad\Longrightarrow\quad 2x+4y=6.
Isso mostra que a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, inclusive o termo independente também é o dobro. Logo, as duas equações são dependentes e não trazem informação nova além de uma única equação efetiva.

Passo 5

Interpretação do Passo 4: como as duas equações são a mesma reta (a segunda é múltipla da primeira), o sistema corresponde a apenas uma equação independente em duas incógnitas. Uma única equação com duas incógnitas geralmente tem infinitas soluções (uma família com um parâmetro livre). Portanto o sistema é consistente e tem infinitas soluções.

Passo 6

Agora vou descrever a família de soluções de forma prática (para que você saiba o que escrever na prova). Partindo da equação única representativa:
x+2y=3.
Podemos escolher uma variável como parâmetro livre — normalmente escolhemos y\) como parâmetro \(t\in\mathbb{R}\). Então escrevemos \(y=t\) e resolvemos para \(x\): \[x = 3-2y.
Substituindo y=t obtemos a parametrização completa:
\begin{cases} y=t,\\[4pt] x=3-2t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Ou, equivalentemente, descrever o conjunto de soluções como
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=3-2y\},
ou ainda escrever x=3-2y\] com \(y\in\mathbb{R}.]

Passo 7

Resumo conceitual rápido para você lembrar na prova:
  • Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero (\Delta\neq0) => única solução.
  • Se \Delta=0, verificar se os termos independentes têm a mesma razão que os coeficientes correspondentes; se sim => infinitas soluções; se não => sem solução.
    Aqui a razão entre as linhas é 2 (segunda = 2 × primeira) também para os termos independentes, então é o caso de infinitas soluções. Bom trabalho — essa é uma verificação clássica e rápida para sistemas 2\times2!

Resposta

Infinitas soluções; x=3-2y,\\ y\in\mathbb{R}

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