Exercício 38 Classifique o sistema (única solução, infinitas soluções ou sem solução):
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com duas equações e duas incógnitas e pede para classificá-lo (se tem única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução). As equações são:
Informações relevantes dadas:
- Coeficientes das incógnitas formam a matriz dos coeficientes
- Termos independentes (lado direito) são
e .
O que é pedido: determinar qual das três possibilidades vale para este sistema (única solução, infinitas soluções ou sem solução) e, se possível, apresentar a forma geral das soluções.]
Passo 2
Vou explicar duas ideias simples e fundamentais que ajudam a classificar um sistema
a matriz dos coeficientes é
), o sistema tem única solução. Se
, pode haver infinitas soluções ou nenhuma: aí é preciso checar consistência (se as duas equações são múltiplas entre si também nos termos independentes).
2) Método da combinação linear / eliminação: ver se a segunda equação é múltipla da primeira (ou não). Se for múltipla exata (inclusive no termo independente), então as equações são dependentes e o sistema reduz a uma única equação — daí surgem infinitas soluções (uma família de soluções). Se for múltipla nos coeficientes mas não no termo independente, o sistema é inconsistente (sem solução).
2) Método da combinação linear / eliminação: ver se a segunda equação é múltipla da primeira (ou não). Se for múltipla exata (inclusive no termo independente), então as equações são dependentes e o sistema reduz a uma única equação — daí surgem infinitas soluções (uma família de soluções). Se for múltipla nos coeficientes mas não no termo independente, o sistema é inconsistente (sem solução).
Vou aplicar essas ideias aqui.]
Passo 3
Calcular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema dado:
Faço a conta passo a passo:
portanto
Como
, o sistema NÃO tem garantia de solução única; resta verificar se é consistente (infinitas soluções) ou inconsistente (sem solução).]
Passo 4
Verificar se a segunda equação é múltipla da primeira (coeficientes e termo independente).
Compare a segunda equação com a primeira
. Observe que multiplicando a primeira por
obtemos:
Compare a segunda equação
Isso mostra que a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, inclusive o termo independente também é o dobro. Logo, as duas equações são dependentes e não trazem informação nova além de uma única equação efetiva.
Passo 5
Interpretação do Passo 4: como as duas equações são a mesma reta (a segunda é múltipla da primeira), o sistema corresponde a apenas uma equação independente em duas incógnitas. Uma única equação com duas incógnitas geralmente tem infinitas soluções (uma família com um parâmetro livre). Portanto o sistema é consistente e tem infinitas soluções.
Passo 6
Agora vou descrever a família de soluções de forma prática (para que você saiba o que escrever na prova). Partindo da equação única representativa:
Podemos escolher uma variável como parâmetro livre — normalmente escolhemos
Substituindo
obtemos a parametrização completa:
Ou, equivalentemente, descrever o conjunto de soluções como
ou ainda escrever
.]
Passo 7
Resumo conceitual rápido para você lembrar na prova:
- Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero
=> única solução. - Se
, verificar se os termos independentes têm a mesma razão que os coeficientes correspondentes; se sim => infinitas soluções; se não => sem solução.
Aqui a razão entre as linhas é(segunda = 2 × primeira) também para os termos independentes, então é o caso de infinitas soluções. Bom trabalho — essa é uma verificação clássica e rápida para sistemas !
Resposta
Infinitas soluções;