Exercício 43 Determine a solução geral do sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\ 2 x+2 y+2 z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral do sistema de duas equações com três incógnitas. As informações fornecidas são as duas equações:
\begin{cases} x+y+z=2\\[4pt] 2x+2y+2z=4 \end{cases}
Não há outras restrições dadas (por exemplo, domínios diferentes), então assumimos que x,y,z são números reais.]

Passo 2

Primeira observação direta entre as equações: comparando a segunda com a primeira nota-se que a segunda é exatamente o dobro da primeira, isto é, a segunda equação é 2 vezes a primeira. Escrevendo isso explicitamente:
2x+2y+2z = 2\,(x+y+z).
Como a primeira diz x+y+z=2, multiplicando por 2 obtemos 2x+2y+2z=4, que é precisamente a segunda equação. Logo as duas equações não são independentes; elas representam a mesma restrição.

Passo 3

Interpretação desse fato: como as duas equações são dependentes, o sistema efetivamente reduz-se a uma única equação:
x+y+z=2.
Isso significa que há infinitas soluções, porque uma única equação em três incógnitas deixa graus de liberdade. Vamos explicar esse conceito com calma.

Passo 4

Noção de graus de liberdade / variáveis livres (explicando o porquê): um sistema linear com n incógnitas e posto (número de equações independentes) igual a r tem n-r graus de liberdade — isto é, n-r variáveis que podem ser escolhidas livremente, e as restantes são determinadas por elas. Aqui n=3 (as incógnitas x,y,z) e o posto r=1 (apenas uma equação independente), portanto há 3-1=2 variáveis livres. Podemos escolher essas duas variáveis como parâmetros.

Passo 5

Escolha de parâmetros e expressão da solução: vamos tomar
y=s,\qquad z=t,
onde s e t são parâmetros arbitrários em \mathbb{R}. Substituindo na equação x+y+z=2 e resolvendo para x obtemos
x = 2 - y - z = 2 - s - t.
Portanto a solução geral em forma paramétrica é
(x,y,z) = (2 - s - t,\; s,\; t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Forma vetorial e interpretação geométrica (útil para a prova): podemos reescrever a solução como soma de um ponto particular mais combinações lineares:
\begin{aligned} (x,y,z) &= (2,0,0) + s(-1,1,0) + t(-1,0,1),\\[4pt] &\text{com } s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Geometricamente, o conjunto das soluções é um plano em \mathbb{R}^3 (uma subvariedade de dimensão 2) definido pela equação x+y+z=2.]

Passo 7

Checagem rápida com um exemplo: escolhendo s=1 e t=1 temos x=2-1-1=0, então a solução é (0,1,1). Verificando na equação original:
0+1+1=2
e 2\cdot0+2\cdot1+2\cdot1=4, logo funciona — bom sinal!

Resposta

(x,y,z)=(2 - s - t,\; s,\; t),\quad s,t\in\mathbb{R}

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