Exercício 43 Determine a solução geral do sistema:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral do sistema de duas equações com três incógnitas. As informações fornecidas são as duas equações:
Não há outras restrições dadas (por exemplo, domínios diferentes), então assumimos que
são números reais.]
Passo 2
Primeira observação direta entre as equações: comparando a segunda com a primeira nota-se que a segunda é exatamente o dobro da primeira, isto é, a segunda equação é
vezes a primeira. Escrevendo isso explicitamente:
Como a primeira diz
, multiplicando por
obtemos
, que é precisamente a segunda equação. Logo as duas equações não são independentes; elas representam a mesma restrição.
Passo 3
Interpretação desse fato: como as duas equações são dependentes, o sistema efetivamente reduz-se a uma única equação:
Isso significa que há infinitas soluções, porque uma única equação em três incógnitas deixa graus de liberdade. Vamos explicar esse conceito com calma.
Passo 4
Noção de graus de liberdade / variáveis livres (explicando o porquê): um sistema linear com
incógnitas e posto (número de equações independentes) igual a
tem
graus de liberdade — isto é,
variáveis que podem ser escolhidas livremente, e as restantes são determinadas por elas. Aqui
(as incógnitas
) e o posto
(apenas uma equação independente), portanto há
variáveis livres. Podemos escolher essas duas variáveis como parâmetros.
Passo 5
Escolha de parâmetros e expressão da solução: vamos tomar
onde
e
são parâmetros arbitrários em
. Substituindo na equação
e resolvendo para
obtemos
Portanto a solução geral em forma paramétrica é
Passo 6
Forma vetorial e interpretação geométrica (útil para a prova): podemos reescrever a solução como soma de um ponto particular mais combinações lineares:
Geometricamente, o conjunto das soluções é um plano em
(uma subvariedade de dimensão
) definido pela equação
.]
Passo 7
Checagem rápida com um exemplo: escolhendo
e
temos
, então a solução é
. Verificando na equação original:
e
, logo funciona — bom sinal!