Exercício 39 (Reta que contém um ponto e intercepta outras duas retas) Determinar as equações das retas no espaço que contêm o ponto A(1 ; 2 ; 3) e interceptam as retas
\left(R_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} x+y+z=-2 \\ x-y-z=-3 \end{array} \quad\left(R_{2}\right):\left\{\frac{x-1}{2}=\frac{z-3}{4}=\frac{y-1}{1} .\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a(s) reta(s) L\) que passa(m) por \(A(1,2,3)\) e intercepta(m) simultaneamente as retas \[R_{1}:\begin{cases} x+y+z=-2,\\\ x-y-z=-3 \end{cases} \quad\text{e}\quad R_{2}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{4}.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos usar parametrizações de R_1\] e \(R_2 e impor que um ponto P\in R_1, um ponto Q\in R_2 e A sejam colineares, o que garante que a reta AQ intercepta ambas.

Passo 2

Parametrizamos cada reta.
Para R_1, das equações
x+y+z=-2,\quad x-y-z=-3
tiramos x=-\tfrac52 e y+z=\tfrac12. Seja t=y. Então
P(t)=\bigl(-\tfrac52,\;t,\;\tfrac12-t\bigr).
Para R_2, seja s o parâmetro comum, então
Q(s)=\bigl(1+2s,\;1+s,\;3+4s\bigr).

Passo 3

A condição de colinearidade entre A, P e Q é que exista \lambda tal que
\overrightarrow{AQ}=\lambda\,\overrightarrow{AP}.
Escrevendo em coordenadas, com A=(1,2,3),
\overrightarrow{AQ}=(2s,\;s-1,\;4s), \quad \overrightarrow{AP}=\bigl(-\tfrac{7}{2},\;t-2,\;-\tfrac{5}{2}-t\bigr).
Então
(2s,\;s-1,\;4s) =\lambda\Bigl(-\tfrac72,\;t-2,\;-\tfrac52-t\Bigr).

Passo 4

Isso gera o sistema
\begin{cases} 2s=-\frac{7\lambda}{2},\\\ s-1=\lambda(t-2),\\\\ 4s=-\lambda\bigl(\tfrac52+t\bigr). \end{cases}
Da primeira equação vem s=-\tfrac{7\lambda}{4}.
Da terceira, substituindo, obtém-se
4\Bigl(-\tfrac{7\lambda}{4}\Bigr) =-\lambda\Bigl(\tfrac52+t\Bigr) \;\Longrightarrow\; -7\lambda=-\lambda\Bigl(\tfrac52+t\Bigr) \;\Longrightarrow\; t=\tfrac92.
Com t=\tfrac92, a segunda equação dá
-\tfrac{7\lambda}{4}-1=\lambda\Bigl(\tfrac92-2\Bigr) \;\Longrightarrow\; -\tfrac{7\lambda}{4}-1=\lambda\cdot\tfrac{5}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda=-\tfrac{4}{17},
e então
s=-\tfrac{7}{4}\,\lambda=\tfrac{7}{17}.

Passo 5

Com s=\tfrac{7}{17} e t=\tfrac92 encontramos
P=\Bigl(-\tfrac52,\;\tfrac92,\;-4\Bigr), \quad Q=\Bigl(\tfrac{31}{17},\;\tfrac{24}{17},\;\tfrac{79}{17}\Bigr).
Um vetor diretor de L é
\overrightarrow{AP} =P-A=\Bigl(-\tfrac72,\;\tfrac52,\;-7\Bigr),
que, multiplicado por -1 e simplificado, dá (7,-5,14).
Assim, a reta procurada é
\text{parametricamente: } (x,y,z)=(1,2,3)+\mu\,(7,-5,14),
ou na forma simétrica:

Resposta

\frac{x-1}{7}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z-3}{14}.

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