Exercício 1.Suponha que estávamos trabalhando com um conjunto de
observações relativas a uma determinada variável quantitativa,onde
.Foram calculadas a média e a mediana desses dados.Em seguida,o valor da maior entre todas essas
observações sofreu um aumento.Como resultado disso,podemos afirmar que:
(a)Tanto a média quanto a mediana aumentam.
(b)Tanto a média quanto a mediana não se alteram.
(c)A média não se altera e a mediana aumenta.
(d)A média aumenta e a mediana não se altera.
(e)Nada se pode afirmar sobre a mudança na mediana.
(a)Tanto a média quanto a mediana aumentam.
(b)Tanto a média quanto a mediana não se alteram.
(c)A média não se altera e a mediana aumenta.
(d)A média aumenta e a mediana não se altera.
(e)Nada se pode afirmar sobre a mudança na mediana.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Temos um conjunto de
observações de uma variável quantitativa, com . - Foi calculada a média e a mediana dessas
observações. - O valor da maior entre todas essas
observações sofreu um aumento (isto é, a maior observação foi substituída por um valor maior). - A pergunta é: que afirmativa entre as alternativas abaixo é correta?
(a) Tanto a média quanto a mediana aumentam.
(b) Tanto a média quanto a mediana não se alteram.
(c) A média não se altera e a mediana aumenta.
(d) A média aumenta e a mediana não se altera.
(e) Nada se pode afirmar sobre a mudança na mediana.
Passo 2
Definição e fórmula da média amostral (explicação didática).
A média aritmética (média amostral) de observações
é o número que representa o “valor típico” obtido somando todos os valores e dividindo por
. Em fórmula:
A média aritmética (média amostral) de
Aqui,
é a média,
é o número de observações, e
é a soma de todas as observações. Se você aumentar qualquer uma das observações em uma quantidade positiva, a soma aumenta e, portanto, a média aumenta (porque dividimos a soma por um
fixo).
Passo 3
Aplicando a definição da média ao aumento da maior observação (passo concreto).
Sejam as observações originais ordenadas de forma que
seja a maior. Suponha que aumentamos
para
com
. A nova média
vale
Sejam as observações originais
Como
e
, segue que
. Conclusão: a média aumenta estritamente.
Passo 4
Definição e fórmula da mediana (explicação didática).
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior das observações quando elas estão ordenadas. Para as observações ordenadas :
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior das observações quando elas estão ordenadas. Para as observações ordenadas
- Se
é ímpar, a mediana é o valor central:
- Se
é par, a mediana é a média dos dois valores centrais:
Aqui
indica o
-ésimo menor valor (ordenação). A mediana depende apenas das posições centrais da amostra ordenada, não da soma total.
Passo 5
Analisar como o aumento do maior valor afeta a mediana (casos e raciocínio).
O maior valor é . Ao aumentar esse valor para
com
, os demais valores
não mudam e continuam nas mesmas posições relativas. Assim:
O maior valor é
- Se
é ímpar, a mediana é . Esse índice é menor que porque , logo a mediana corresponde a um valor entre os primeiros elementos. Esses valores não foram alterados, portanto a mediana permanece igual. - Se
é par, a mediana é . Ambos os índices e são menores ou iguais a quando ? Vamos verificar: para , ; para em geral . Como , os valores centrais usados no cálculo da mediana não envolvem . Então nenhum dos dois valores centrais mudou; portanto a mediana não muda. (Para já foi tratado no caso ímpar.)
Em todos os casos com
, aumentar o maior valor
não afeta os valores que determinam a mediana, logo a mediana permanece inalterada.
Passo 6
Observações sobre empates (valores iguais) e possibilidade de ambiguidade.
Mesmo que haja empates e o maior valor não seja único (por exemplo vários valores iguais ao máximo), aumentar um dos valores máximos para um valor maior apenas torna esse observado estritamente maior, mas continua sendo um valor extremo à direita da ordem; os elementos que ocupam as posições centrais da ordenação permanecem os mesmos. Portanto a conclusão de que a mediana não se altera continua válida.
Mesmo que haja empates e o maior valor não seja único (por exemplo vários valores iguais ao máximo), aumentar um dos valores máximos para um valor maior apenas torna esse observado estritamente maior, mas continua sendo um valor extremo à direita da ordem; os elementos que ocupam as posições centrais da ordenação permanecem os mesmos. Portanto a conclusão de que a mediana não se altera continua válida.
Passo 7
Conclusão final combinando resultados: média e mediana.
Resumo: aumentar o maior valor causa um aumento estrito da média (veja Passo 3) e não altera a mediana (veja Passos 5–6). Isso corresponde à alternativa (d).
Resumo: aumentar o maior valor causa um aumento estrito da média (veja Passo 3) e não altera a mediana (veja Passos 5–6). Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)