Exercício 1.Suponha que estávamos trabalhando com um conjunto de n observações relativas a uma determinada variável quantitativa,onde n>2 .Foram calculadas a média e a mediana desses dados.Em seguida,o valor da maior entre todas essas n observações sofreu um aumento.Como resultado disso,podemos afirmar que:
(a)Tanto a média quanto a mediana aumentam.
(b)Tanto a média quanto a mediana não se alteram.
(c)A média não se altera e a mediana aumenta.
(d)A média aumenta e a mediana não se altera.
(e)Nada se pode afirmar sobre a mudança na mediana.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Temos um conjunto de n observações de uma variável quantitativa, com n>2.
  • Foi calculada a média e a mediana dessas n observações.
  • O valor da maior entre todas essas n observações sofreu um aumento (isto é, a maior observação foi substituída por um valor maior).
  • A pergunta é: que afirmativa entre as alternativas abaixo é correta?
    (a) Tanto a média quanto a mediana aumentam.
    (b) Tanto a média quanto a mediana não se alteram.
    (c) A média não se altera e a mediana aumenta.
    (d) A média aumenta e a mediana não se altera.
    (e) Nada se pode afirmar sobre a mudança na mediana.

Passo 2

Definição e fórmula da média amostral (explicação didática).
A média aritmética (média amostral) de n observações x_1,x_2,\dots,x_n é o número que representa o “valor típico” obtido somando todos os valores e dividindo por n. Em fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui, \bar{x} é a média, n é o número de observações, e \sum_{i=1}^{n} x_i é a soma de todas as observações. Se você aumentar qualquer uma das observações em uma quantidade positiva, a soma aumenta e, portanto, a média aumenta (porque dividimos a soma por um n fixo).

Passo 3

Aplicando a definição da média ao aumento da maior observação (passo concreto).
Sejam as observações originais x_1,x_2,\dots,x_{n-1},x_n ordenadas de forma que x_n seja a maior. Suponha que aumentamos x_n para x_n'=x_n+\delta com \delta>0. A nova média \bar{x}' vale
\bar{x}'=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1} x_i + x_n'\right) =\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1} x_i + x_n+\delta\right) =\bar{x}+\frac{\delta}{n}.
Como \delta>0 e n>0, segue que \bar{x}'>\bar{x}. Conclusão: a média aumenta estritamente.

Passo 4

Definição e fórmula da mediana (explicação didática).
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior das observações quando elas estão ordenadas. Para as observações ordenadas x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}:
  • Se n é ímpar, a mediana é o valor central:
\text{mediana} = x_{((n+1)/2)}.
  • Se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais:
\text{mediana} = \frac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2}.
Aqui x_{(k)} indica o k-ésimo menor valor (ordenação). A mediana depende apenas das posições centrais da amostra ordenada, não da soma total.

Passo 5

Analisar como o aumento do maior valor afeta a mediana (casos e raciocínio).
O maior valor é x_{(n)}. Ao aumentar esse valor para x_{(n)}' = x_{(n)}+\delta com \delta>0, os demais valores x_{(1)},\dots,x_{(n-1)} não mudam e continuam nas mesmas posições relativas. Assim:
  • Se n é ímpar, a mediana é x_{((n+1)/2)}. Esse índice (n+1)/2 é menor que n porque n>2, logo a mediana corresponde a um valor entre os primeiros n-1 elementos. Esses valores não foram alterados, portanto a mediana permanece igual.
  • Se n é par, a mediana é \tfrac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}. Ambos os índices n/2 e n/2+1 são menores ou iguais a n-1 quando n>2? Vamos verificar: para n=4, n/2+1=3\le n-1; para n\ge 4 em geral n/2+1\le n-1. Como n>2, os valores centrais usados no cálculo da mediana não envolvem x_{(n)}. Então nenhum dos dois valores centrais mudou; portanto a mediana não muda. (Para n=3 já foi tratado no caso ímpar.)
Em todos os casos com n>2, aumentar o maior valor x_{(n)} não afeta os valores que determinam a mediana, logo a mediana permanece inalterada.

Passo 6

Observações sobre empates (valores iguais) e possibilidade de ambiguidade.
Mesmo que haja empates e o maior valor não seja único (por exemplo vários valores iguais ao máximo), aumentar um dos valores máximos para um valor maior apenas torna esse observado estritamente maior, mas continua sendo um valor extremo à direita da ordem; os elementos que ocupam as posições centrais da ordenação permanecem os mesmos. Portanto a conclusão de que a mediana não se altera continua válida.

Passo 7

Conclusão final combinando resultados: média e mediana.
Resumo: aumentar o maior valor causa um aumento estrito da média (veja Passo 3) e não altera a mediana (veja Passos 5–6). Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d)

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