Exercício 40. Para formar uma comissão de três membros, apresentaram-se três jornalistas, quatro advogados e cinco professores. Indicando-se por N o número de possibilidades para formar tal comissão, é correto afirmar:
(a) N=136, se for exigido que pelo menos um membro da comissão seja jornalista.
(b) N=60, se a comissão for formada por um jornalista, um advogado e um professor.
(c) N=70, se for exigido que somente dois membros da comissão sejam professores.
(d) N=1320, se não houver outra condição além da quantidade de pessoas na comissão.

Passo 1

O enunciado diz que há 3 jornalistas, 4 advogados e 5 professores, totalizando 12 pessoas, e queremos formar comissões de 3 membros sob quatro condições diferentes. Usaremos a fórmula de combinações \r
\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 2

Para o caso (a), “pelo menos um jornalista”: primeiro calculamos o total de comissões sem restrição, que é \r
\binom{12}{3} = 220. \r
O número de comissões sem nenhum jornalista (ou seja, só entre advogados e professores, 9 pessoas) é \r
\binom{9}{3} = 84. \r
Logo, o número com pelo menos um jornalista é \r
220 - 84 = 136.

Passo 3

Para o caso (b), “um jornalista, um advogado e um professor”: escolhemos
\binom{3}{1} jornalistas, \binom{4}{1} advogados e \binom{5}{1} professores, daí
\binom{3}{1}\times\binom{4}{1}\times\binom{5}{1} = 3\times4\times5 = 60.

Passo 4

Para o caso (c), “exatamente dois professores”: escolhemos dois entre os 5 professores e um entre os 7 não-professores (jornalista s+advogados), daí
\binom{5}{2}\times\binom{7}{1} = 10\times7 = 70.

Passo 5

Para o caso (d), “sem outra condição além de escolher 3 pessoas”: é simplesmente
\binom{12}{3} = 220,
que não é 1320. Logo a afirmativa (d) é falsa.

Resposta

(a) N=136
(b) N=60
(c) N=70
(d) incorreta, pois N=220 e não 1320.

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