Exercício 41. A combinação de n elementos tomados k-a-k é representada por:
C_{n, k} .
Sendo 3 / 7 a razão entre C_{n, 2} e C_{n, 3}, determine o valor de C_{n, 5}.

Passo 1

O enunciado diz que a combinação de n elementos tomados k a k é
C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
e que
\frac{C_{n,2}}{C_{n,3}} = \frac{3}{7}.
O que precisamos fazer é usar essa razão para achar n e depois calcular C_{n,5}.

Passo 2

Usando a fórmula, temos
C_{n,2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2},
C_{n,3} = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.
Colocando na razão:
\frac{C_{n,2}}{C_{n,3}} = \frac{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{6}{n(n-1)(n-2)} = \frac{3}{\,n-2\,}.

Passo 3

Igualando ao valor dado:
\frac{3}{\,n-2\,} = \frac{3}{7} \quad\Longrightarrow\quad n-2 = 7 \quad\Longrightarrow\quad n = 9.

Passo 4

Agora que n=9, calculamos
C_{9,5} = \frac{9!}{5!\,4!} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 126.

Resposta

126

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