Exercício 40
Mostre que $\lim _{(x, y) \rightarrow(-2,1)} 5 x+4 y=-6

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(-2,1)l(5x+4yr)=-6
Trata-se de limite de função de duas variáveis e usaremos a definição varepsilon de<a.

Passo 2

Devemos provar que, dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
raiz(x+2)^2+(y-1)^2<de<a Longrightarrow l|5x+4y-(-6)r|<varepsilon

Passo 3

Começamos estimando a diferença da função ao valor proposto:
l|5x+4y-(-6)r| =l|5(x+2)+4(y-1)r| <=5,|x+2|+4,|y-1|

Passo 4

Como
raiz(x+2)^2+(y-1)^2<de<a
implica
|x+2|<de<a e |y-1|<de<a, então
5|x+2|+4|y-1|<5de<a+4de<a=9de<a

Passo 5

Basta escolher
de<a=varepsilon9
Assim, se raiz(x+2)^2+(y-1)^2<de<a então
l|5x+4y-(-6)r|<9de<a=9cdotvarepsilon9=varepsilon,
o que conclui a prova.

Resposta

-6

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