Exercício 39
Mostre que lim (x, y) (-1,3) 3 x-2 y=-9.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(-1,3)l(3x-2yr)=-9
O conteúdo aqui é definição de limite em duas variáveis ( epsilon- de<a). Vamos usar a técnica de comparar
lvert f(x,y)-Lrvert com a distância raiz(x+1)^2+(y-3)^2.

Passo 2

Primeiro, por tentativa, avaliamos a função no ponto
f(-1,3)=3cdot(-1)-2cdot3=-3-6=-9
Isso sugere que o limite L deve ser -9.

Passo 3

Agora fazemos a prova epsilon- de<a. Seja varepsilon>0. Queremos escolher de<a>0 de modo que
0<raiz(x+1)^2+(y-3)^2<de<a Longrightarrow l|,3x-2y-(-9)r|<varepsilon
Reescrevendo
l|3x-2y+9r| =l|3(x+1)-2(y-3)r| <= 3,|x+1|+2,|y-3|
Como
|x+1|<=raiz(x+1)^2+(y-3)^2, |y-3|<=raiz(x+1)^2+(y-3)^2,
segue que
l|3x-2y+9r| <= 3raiz(x+1)^2+(y-3)^2+2raiz(x+1)^2+(y-3)^2 =5raiz(x+1)^2+(y-3)^2

Passo 4

Para garantir 5raiz(x+1)^2+(y-3)^2<varepsilon, basta impor
raiz(x+1)^2+(y-3)^2<de<a com de<a=varepsilon5
Então, sempre que 0<raiz(x+1)^2+(y-3)^2<de<a, temos
lvert3x-2y+9rvert<5de<a=5cdotvarepsilon5=varepsilon,
o que completa a prova.

Resposta

-9

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