Exercício 2.40 Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
Informações dadas que vamos usar: o enunciado dá a função logarítmica
, pede uma representação como série infinita, e especifica a condição de validade
. Vou trabalhar apenas com essas informações; mais adiante vou apontar uma observação importante sobre o sinal (spoiler: a forma dada no enunciado tem um sinal trocado).
Passo 2
Idéia geral e ferramenta básica: vou usar a série geométrica clássica e depois integrar termo a termo. A série geométrica diz que, para
,
Vou agora lembrar e provar rapidamente essa fórmula (é importância: é a base de várias expansões em séries de potências). Considere a soma parcial
Multiplicando por
obtemos
Portanto, se
, então
quando
, e assim
Isso justifica a fórmula da série geométrica quando
. Observação intuitiva: fora do intervalo
a soma não converge.
Passo 3
Relacionando
com
: derivada e integral. A derivada da função
em relação a
é
Isso é fácil de ver usando a regra da cadeia: derivada de
é
multiplicada por
. Agora integramos essa igualdade de
de
até
(com
para ficar dentro da região onde tudo será convergente):
Como
, temos a identidade exata
Passo 4
Substituir a série geométrica dentro da integral e justificar a troca soma ↔ integral. Pelo Passo 2, para
vale
Para fazer
é necessário justificar a troca entre integral e soma. Uma explicação simples e suficiente para provas de cálculo-funcional é: para qualquer
com
a série geométrica converge uniformemente em
(pois é uma série de potências com razão
), e portanto a integração termo a termo é permitida em qualquer intervalo
com
. Como
escolhemos
com
e a troca é válida. Intuitivamente: dentro da bola de convergência podemos somar e integrar sem problemas.
Assim podemos integrar termo a termo:
Passo 5
Calcular as integrais individuais e recolocar o sinal negativo. Para cada
,
Portanto, usando o resultado do Passo 3,
Passo 6
Reindexar a soma para obter a forma comum. Faço a mudança de índice
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Em notação padrão, renomeando
de volta para
, obtemos a identidade final
Essa é a expansão correta de
em série de potências ao redor de
.
Passo 7
Observação sobre o enunciado original e sobre a série com termos alternados. A série fornecida no enunciado,
é, na verdade, a expansão de
(não de
). Para ver isso rapidamente, basta substituir
por
na identidade do Passo 6:
válida para
. Portanto o enunciado parece ter trocado o sinal: o lado direito com
corresponde a
, enquanto
corresponde a
.