Diferencie
f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}.
Informações dadas: a,b,c,d são constantes (coeficientes) e a função está definida onde o denominador não zera, isto é, onde c x+d \neq 0.
O que precisamos obter: a expressão de f'(x), a derivada de f em termos de a,b,c,d e x.

Passo 2

Vamos identificar numerador e denominador para aplicar uma regra de derivação adequada. Definimos
u(x)=a x+b
e
v(x)=c x+d.
A derivada de uma razão \frac{u(x)}{v(x)} é dada pela regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explico a fórmula: u' é a derivada de u, v' é a derivada de v. No numerador fazemos u'v-uv' (produto cruzado) e no denominador elevamos v ao quadrado.

Passo 3

Calculemos u'(x) e v'(x). Para funções lineares:
u(x)=a x+b \implies u'(x)=a,
porque a derivada de k x é k e a derivada de uma constante é 0. Analogamente,
v(x)=c x+d \implies v'(x)=c.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{a\,(c x+d)-(a x+b)\,c}{(c x+d)^{2}}.
Essa é a aplicação direta da fórmula: no lugar de u' colocamos a, de v colocamos c x+d, etc.

Passo 5

Desenvolvemos o numerador passo a passo para simplificar:
a(c x+d)-(a x+b)c = acx+ad-(acx+bc).
Agora vemos que os termos acx se cancelam:
acx+ad-acx-bc = ad-bc.
Logo o numerador simplifica para ad-bc.

Passo 6

Substituindo a simplificação na expressão da derivada obtemos a forma final:
f'(x)=\frac{ad-bc}{(c x+d)^{2}},
válida para c x+d\neq 0. Observações úteis para a prova: se ad-bc=0 então f'(x)=0 na região onde a função está definida (a função é então constante nessa região). Se c=0 a fórmula reduz-se corretamente para f'(x)=\frac{a}{d}.

Resposta

\displaystyle \frac{ad-bc}{(c x+d)^{2}}

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