Exercício 2.39 Mostre que
\frac{1}{(x-2)^{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1) x^{2} \quad \text { se } \quad|x|<1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\frac{1}{(x-2)^{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1) x^{2}\quad\text{se}\quad|x|<1.
Informações dadas:
\text{a expressão a ser igualada: }\frac{1}{(x-2)^{2}};ã
\text{o lado direito é uma série infinita (índice }n\text{) presumivelmente em função de }x;ééíçã
\text{condição de convergência fornecida: }|x|<1.çãê

Passo 2

Vamos usar uma identidade padrão e muito útil: a série geométrica. Para t com |t|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}=\frac{1}{1-t}.
Isso é bem conhecido; é a soma da progressão geométrica infinita. Antes de usarmos, vou explicar rapidinho por que podemos diferenciar termo a termo essa série: a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em \{t:|t|<1\}, logo podemos derivar termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 3

Derivando a igualdade da série geométrica termo a termo em relação a t, obtemos (para |t|<1)
\frac{d}{dt}\left(\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dt}\left(t^{n}\right).
O lado esquerdo é a derivada de \dfrac{1}{1-t}, que é \dfrac{1}{(1-t)^{2}}. O lado direito é
\sum_{n=1}^{\infty} n t^{\,n-1}.
Portanto temos
\sum_{n=1}^{\infty} n t^{\,n-1}=\frac{1}{(1-t)^{2}}.

Passo 4

Fazendo a mudança de índice n\mapsto n+1 na soma da esquerda (ou, equivalentemente, multiplicando por t e reindexando), obtemos a forma mais prática:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) t^{n}=\frac{1}{(1-t)^{2}},
válida para |t|<1. Esta é a identidade-chave que queremos usar. Interprete: a série cujo coeficiente de t^{n} é (n+1) representa \dfrac{1}{(1-t)^{2}}.

Passo 5

Agora manipule a expressão da esquerda do enunciado para colocá‑la na forma \dfrac{1}{(1-t)^{2}}. Note que
\frac{1}{(x-2)^{2}}=\frac{1}{\big(-2(1-\tfrac{x}{2})\big)^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\big(1-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}.
Aqui usei a fatoração x-2=-2\big(1-\tfrac{x}{2}\big). Portanto
\frac{1}{(x-2)^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\big(1-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}.

Passo 6

Aplicando a identidade do Passo 4 com t=\dfrac{x}{2} (isso é permitido quando |t|<1, ou seja quando |x|<2; em particular para |x|<1 dado no enunciado), obtemos
\frac{1}{\big(1-\tfrac{x}{2}\big)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{n}.

Passo 7

Multiplicando por \dfrac{1}{4} (lembrando do Passo 5) chegamos à série buscada:
\frac{1}{(x-2)^{2}}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{n}.
Podemos reescrever os fatores de potência e constantes para uma forma mais limpa:
\frac{1}{(x-2)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{4\cdot 2^{n}}\,x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n+2}}\,x^{n}.

Passo 8

Convergência: a série \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\big(\tfrac{x}{2}\big)^{n} converge se \big|\tfrac{x}{2}\big|<1, ou seja se |x|<2. Portanto a identidade que escrevemos vale para |x|<2; como o enunciado exige |x|<1, essa condição é mais restrita e a identidade também vale sob ela.

Resposta

\frac{1}{(x-2)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n+2}}\,x^{n}\quad\text{(válido, em particular, para }|x|<1\text{).}á

Exercícios relacionados