\text{a expressão a ser igualada: }\frac{1}{(x-2)^{2}};
\text{o lado direito é uma série infinita (índice }n\text{) presumivelmente em função de }x;
\text{condição de convergência fornecida: }|x|<1.
Passo 2
Vamos usar uma identidade padrão e muito útil: a série geométrica. Para t com |t|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}=\frac{1}{1-t}.
Isso é bem conhecido; é a soma da progressão geométrica infinita. Antes de usarmos, vou explicar rapidinho por que podemos diferenciar termo a termo essa série: a série converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em \{t:|t|<1\}, logo podemos derivar termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 3
Derivando a igualdade da série geométrica termo a termo em relação a t, obtemos (para |t|<1)
Aplicando a identidade do Passo 4 com t=\dfrac{x}{2} (isso é permitido quando |t|<1, ou seja quando |x|<2; em particular para |x|<1 dado no enunciado), obtemos
Convergência: a série \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\big(\tfrac{x}{2}\big)^{n} converge se \big|\tfrac{x}{2}\big|<1, ou seja se |x|<2. Portanto a identidade que escrevemos vale para |x|<2; como o enunciado exige |x|<1, essa condição é mais restrita e a identidade também vale sob ela.
Resposta
\frac{1}{(x-2)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n+2}}\,x^{n}\quad\text{(válido, em particular, para }|x|<1\text{).}á