Exercício 41. A combinação de n elementos tomados k-a-k é representada por:
C_{n, k} .
Sendo 3 / 7 a razão entre C_{n, 2} e C_{n, 3}, determine o valor de C_{n, 5}.

Passo 1

O enunciado trata de coeficientes binomiais: para n elementos tomados k a k, usamos
C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Diz que a razão entre C(n,2) e C(n,3) vale 3/7 e pede o valor de C(n,5).

Passo 2

Vamos escrever as duas combinações em função de n. Usando a definição:
C(n,2)=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2},
C(n,3)=\frac{n!}{3!(n-3)!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.
Logo a razão é
\frac{C(n,2)}{C(n,3)} =\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} =\frac{6}{2\,(n-2)} =\frac{3}{n-2}.

Passo 3

Igualando à razão dada,
\frac{3}{n-2}=\frac{3}{7}
vemos que n-2=7, portanto
n=9.

Passo 4

Com n=9, calculamos
C(9,5)=\frac{9!}{5!4!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126.

Resposta

126

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