Exercício 42. Com base nos conhecimentos adquiridos, marque Verdadeiro ou falso:
(a) Podem-se escrever 24 números pares, compreendidos entre 99 e 1 000, com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los.
(b) Um grupo de turistas tem 30 maneiras diferentes para escolher 3 roteiros de passeio distintos, dentre os 10 oferecidos por uma agência.
(c) Uma pessoa tem 24 opções para ir da cidade A para a cidade B, passando pelas cidades C, D, E e F.
(d) Se C_{n, 3}-C_{n, 2}=0, então n \in[5,7].
(e) Se \frac{x+2}{x!}=20, então x é um número par.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre contagem (permutação, combinação, fatorial) e pede para marcá-las como Verdadeiras ou Falsas, usando as fórmulas de permutações, combinações e propriedades de fatorial.

Passo 2

Para (a): queremos contar números pares de três dígitos formados com \{2,3,4,5,7\} sem repetição. O algarismo das unidades deve ser par, ou seja escolha em \{2,4\} (2 opções). Após fixar a unidade, restam 4 dígitos para as centenas (4 opções) e 3 para as dezenas (3 opções). Logo há
2 \times 4 \times 3 = 24
números possíveis, de modo que (a) é Verdadeira.

Passo 3

Para (b): o número de maneiras de escolher 3 roteiros entre 10 sem ordem é
\binom{10}{3} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = 120,
e não 30. Assim, (b) é Falsa.

Passo 4

Para (c): a pessoa deve passar por 4 cidades ( C,D,E,F) numa ordem qualquer antes de chegar em B. O número de ordens possíveis é
4! = 24.
Portanto, (c) é Verdadeira.

Passo 5

Para (d): resolvemos
\binom{n}{3} - \binom{n}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{n(n-1)}{2}.
Para n(n-1)\neq0, divide-se por \tfrac{n(n-1)}{2} e obtém-se n-2=3, logo n=5. Não se estende para o intervalo inteiro [5,7]. Logo, (d) é Falsa.

Passo 6

Para (e): a equação
\frac{x+2}{x!} = 20
não tem solução inteira (para x\ge0, o lado esquerdo jamais atinge 20). Não existe x satisfazendo, de modo que a conclusão “ x é par” não vale. Assim, (e) é Falsa.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso

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