Exercício 42. Com base nos conhecimentos adquiridos, marque Verdadeiro ou falso:
(a) Podem-se escrever 24 números pares, compreendidos entre 99 e 1 000, com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los.
(b) Um grupo de turistas tem 30 maneiras diferentes para escolher 3 roteiros de passeio distintos, dentre os 10 oferecidos por uma agência.
(c) Uma pessoa tem 24 opções para ir da cidade A para a cidade B, passando pelas cidades C, D, E e F.
(d) Se
, então
.
(e) Se
, então
é um número par.
(a) Podem-se escrever 24 números pares, compreendidos entre 99 e 1 000, com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los.
(b) Um grupo de turistas tem 30 maneiras diferentes para escolher 3 roteiros de passeio distintos, dentre os 10 oferecidos por uma agência.
(c) Uma pessoa tem 24 opções para ir da cidade A para a cidade B, passando pelas cidades C, D, E e F.
(d) Se
(e) Se
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre contagem (permutação, combinação, fatorial) e pede para marcá-las como Verdadeiras ou Falsas, usando as fórmulas de permutações, combinações e propriedades de fatorial.
Passo 2
Para (a): queremos contar números pares de três dígitos formados com
sem repetição. O algarismo das unidades deve ser par, ou seja escolha em
(2 opções). Após fixar a unidade, restam 4 dígitos para as centenas (4 opções) e 3 para as dezenas (3 opções). Logo há
números possíveis, de modo que (a) é Verdadeira.
Passo 3
Para (b): o número de maneiras de escolher
roteiros entre
sem ordem é
e não
. Assim, (b) é Falsa.
Passo 4
Para (c): a pessoa deve passar por
cidades (
) numa ordem qualquer antes de chegar em
. O número de ordens possíveis é
Portanto, (c) é Verdadeira.
Passo 5
Para (d): resolvemos
Para
, divide-se por
e obtém-se
, logo
. Não se estende para o intervalo inteiro
. Logo, (d) é Falsa.
Passo 6
Para (e): a equação
não tem solução inteira (para
, o lado esquerdo jamais atinge
). Não existe
satisfazendo, de modo que a conclusão “
é par” não vale. Assim, (e) é Falsa.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso