Exercício 41. Considere os conjuntos A=\{x \in \mathbb{R} \mid-1<x \leq 3\} e B=\{x \in \mathbb{R} \mid 2<x \leq 5\}. Calcule A \cup B e A \cap B.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos (peguei estes textos do enunciado):
  • A=\{x\in\mathbb{R}\mid -1<x\leq 3\}.
  • B=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x\leq 5\}.
O que o problema pede:
  • Calcular A\cup B.
  • Calcular A\cap B.

Passo 2

Interpretação dos conjuntos em notação de intervalo (isso facilita visualizar):
  • A condição -1<x\leq 3 significa que A é o intervalo (-1,3].
  • A condição 2<x\leq 5 significa que B é o intervalo (2,5].
Explicando o que cada símbolo de intervalo quer dizer:
  • Parêntese () indica que o extremo não pertence ao conjunto (aberto).
  • Colchete [] indica que o extremo pertence ao conjunto (fechado).
    Assim, (-1,3] contém números maiores que -1 e inclusive 3; (2,5] contém números maiores que 2 e inclusive 5.

Passo 3

Definições úteis (em palavras matemáticas, para usar na prova):
  • A união é
A\cup B=\{x\in\mathbb{R}\mid x\in A\\ \text{ou}\\ x\in B\}.
  • A interseção é
A\cap B=\{x\in\mathbb{R}\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\in B\}.
Ou seja: união = tudo que está em pelo menos um dos conjuntos; interseção = apenas o que está em ambos.

Passo 4

Cálculo da interseção A\cap B.
Para x estar em A\cap B é preciso que simultaneamente valham as duas condições:
  • de A: -1<x\leq 3,
  • de B: 2<x\leq 5.
Combinar essas condições dá:
  • Para o limite inferior: precisa ser maior que ambos -1 e 2; isto é, x>2.
  • Para o limite superior: precisa satisfazer x\leq 3 e x\leq 5; isto é, x\leq 3.
Portanto a interseção é o conjunto dos x tais que 2<x\leq 3, ou seja o intervalo
A\cap B=(2,3].
Como cheque rápido, verifique pontos:
  • x=2 não pertence a B (pois 2<x é estrito), logo não pertence à interseção.
  • x=3 pertence a A (pois x\leq3) e pertence a B (pois 3>2 e 3\leq5), logo 3\in A\cap B.

Passo 5

Cálculo da união A\cup B.
Visualizando os intervalos:
  • A=(-1,3] vai de logo após -1 até 3 (incluindo 3).
  • B=(2,5] vai de logo após 2 até 5 (incluindo 5).
Perceba que há sobreposição entre A e B (o intervalo (2,3] pertence a ambos), então a união será um único intervalo contínuo que começa no menor extremo esquerdo e termina no maior extremo direito, com as aberturas/fechamentos determinados por se algum dos conjuntos inclui esses extremos.
  • Extremo esquerdo: o menor limite esquerdo é -1. Nenhum dos conjuntos inclui -1 (ambos têm estrito), então o extremo esquerdo da união é aberto: -1 não pertence.
  • Extremo direito: o maior limite direito é 5. O conjunto B inclui 5 (pois x\leq5), então a união inclui 5.
Portanto a união é o intervalo
A\cup B=(-1,5].
Cheque rápido com exemplos de pontos:
  • x=0 está em A, logo em A\cup B.
  • x=4 está em B, logo em A\cup B.
  • x=-1 não está em nenhum dos dois, então não está na união.
  • x=5 está em B, então está na união.

Resposta

A\cup B = (-1,5]
A\cap B = (2,3]

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