Exercício 41. Considere os conjuntos
e
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos (peguei estes textos do enunciado):
-
. -
.
O que o problema pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Interpretação dos conjuntos em notação de intervalo (isso facilita visualizar):
- A condição
significa que é o intervalo . - A condição
significa que é o intervalo .
Explicando o que cada símbolo de intervalo quer dizer:
- Parêntese
indica que o extremo não pertence ao conjunto (aberto). - Colchete
indica que o extremo pertence ao conjunto (fechado).
Assim,contém números maiores que e inclusive ; contém números maiores que e inclusive .
Passo 3
Definições úteis (em palavras matemáticas, para usar na prova):
- A união é
- A interseção é
Ou seja: união = tudo que está em pelo menos um dos conjuntos; interseção = apenas o que está em ambos.
Passo 4
Cálculo da interseção
.
Para
estar em
é preciso que simultaneamente valham as duas condições:
- de
: , - de
: .
Combinar essas condições dá:
- Para o limite inferior: precisa ser maior que ambos
e ; isto é, . - Para o limite superior: precisa satisfazer
e ; isto é, .
Portanto a interseção é o conjunto dos
tais que
, ou seja o intervalo
Como cheque rápido, verifique pontos:
-
não pertence a (pois é estrito), logo não pertence à interseção. -
pertence a (pois ) e pertence a (pois e ), logo .
Passo 5
Cálculo da união
.
Visualizando os intervalos:
-
vai de logo após até (incluindo ). -
vai de logo após até (incluindo ).
Perceba que há sobreposição entre
e
(o intervalo
pertence a ambos), então a união será um único intervalo contínuo que começa no menor extremo esquerdo e termina no maior extremo direito, com as aberturas/fechamentos determinados por se algum dos conjuntos inclui esses extremos.
- Extremo esquerdo: o menor limite esquerdo é
. Nenhum dos conjuntos inclui (ambos têm estrito), então o extremo esquerdo da união é aberto: não pertence. - Extremo direito: o maior limite direito é
. O conjunto inclui (pois ), então a união inclui .
Portanto a união é o intervalo
Cheque rápido com exemplos de pontos:
-
está em , logo em . -
está em , logo em . -
não está em nenhum dos dois, então não está na união. -
está em , então está na união.