Exercício 40. Considere os conjuntos
e
e responda as operações abaixo:
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos e pede a operação:
- Conjunto
. - Conjunto
.
A pergunta é: calcular.
Passo 2
Entendendo a notação de intervalos (revisão rápida e necessária):
-
significa todos os tais que . Aqui o extremo esquerdo está incluído (colchete fechado) e o direito está excluído (colchete aberto). -
significa todos os tais que . Aqui o extremo esquerdo está excluído e o direito está incluído.
Aplicando aos conjuntos dados:
-
significa . -
significa .
Passo 3
Definição e ideia para calcular
:
- Por definição,
. - Alternativamente,
, onde é o complemento de em (todos os reais que não estão em ).
Vou usar a primeira forma: pegar pontos de
que não pertencem a
.
Passo 4
Escrever explicitamente as condições:
-
equivale a . -
equivale a .
Queremostais que
Passo 5
Analisar por partes da reta numérica:
- Para qualquer
com : como , temos , ou seja, esses pertencem a . Logo, ponto a ponto, todo o intervalo está dentro de e, portanto, não entra em . - Para
com : tais satisfazem (estão em ), mas não satisfazem , logo não pertencem a . Portanto, todo o intervalo está em .
Passo 6
Verificar os pontos de fronteira:
- O ponto
não pertence a (porque é aberto à esquerda em ), então não faz parte de . - O ponto
pertence a (pois inclui 7) e não pertence a (pois exclui 7). Portanto , ou seja, a extremidade esquerda do conjunto que sobra é incluída: colchete fechado em 7. - O ponto
pertence a e claramente não a , então (extremo direito incluído).
Passo 7
Concluir juntando as peças: os pontos de
que não estão em
formam exatamente o intervalo
.