Exercício 40. Considere os conjuntos A=[-3,7[ e B=]-2,9] e responda as operações abaixo:
B-A

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos e pede a operação:
  • Conjunto A = [-3,7[.
  • Conjunto B = ]-2,9].
    A pergunta é: calcular B-A.

Passo 2

Entendendo a notação de intervalos (revisão rápida e necessária):
  • [a,b[ significa todos os x tais que a \le x < b. Aqui o extremo esquerdo a está incluído (colchete fechado) e o direito b está excluído (colchete aberto).
  • ]a,b] significa todos os x tais que a < x \le b. Aqui o extremo esquerdo a está excluído e o direito b está incluído.
Aplicando aos conjuntos dados:
  • A = [-3,7[ significa -3 \le x < 7.
  • B = ]-2,9] significa -2 < x \le 9.

Passo 3

Definição e ideia para calcular B-A:
  • Por definição, B-A = \{x\in B \mid x\notin A\}.
  • Alternativamente, B-A = B \cap A^{c}, onde A^{c} é o complemento de A em \mathbb{R} (todos os reais que não estão em A).
Vou usar a primeira forma: pegar pontos de B que não pertencem a A.

Passo 4

Escrever explicitamente as condições:
  • x\in B equivale a -2 < x \le 9.
  • x\in A equivale a -3 \le x < 7.
    Queremos x tais que
-2 < x \le 9 \quad\text{e}\quad x \notin [-3,7[.

Passo 5

Analisar por partes da reta numérica:
  • Para qualquer x com -2 < x < 7: como -2 > -3, temos -3 \le x < 7, ou seja, esses x pertencem a A. Logo, ponto a ponto, todo o intervalo ]-2,7[ está dentro de A e, portanto, não entra em B-A.
  • Para x com 7 \le x \le 9: tais x satisfazem -2 < x \le 9 (estão em B), mas não satisfazem x<7, logo não pertencem a A. Portanto, todo o intervalo [7,9] está em B-A.

Passo 6

Verificar os pontos de fronteira:
  • O ponto x=-2 não pertence a B (porque B é aberto à esquerda em -2), então não faz parte de B-A.
  • O ponto x=7 pertence a B (pois B inclui 7) e não pertence a A (pois A exclui 7). Portanto 7\in B-A, ou seja, a extremidade esquerda do conjunto que sobra é incluída: colchete fechado em 7.
  • O ponto x=9 pertence a B e claramente não a A, então 9\in B-A (extremo direito incluído).

Passo 7

Concluir juntando as peças: os pontos de B que não estão em A formam exatamente o intervalo [7,9].

Resposta

[7,9]

Exercícios relacionados