Exercício 42. Encontre o polinômio de Taylor de ordem cinco em torno da origem da função f(x)=\cos (x). Use este polinômio para aproximar \cos (x) para x \in[-\pi / 32, \pi / 32] e mostre que o erro cometido nesta aproximação é menor que \frac{1}{720} \cdot 10^{-6}.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem cinco de f(x)=\cos(x) em torno de x=0 e, em seguida, usar esse polinômio para aproximar \cos(x) no intervalo [-\,\pi/32,\;\pi/32], mostrando que o erro é menor que \tfrac{1}{720}\cdot10^{-6}. Vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange.
Passo 2
Calculamos as derivadas de \cos(x) em 0 até a ordem 5 e seus valores em x=0: \;f(x)=\cos(x)\implies
f(0)=1,\;f'(0)=0,\;f''(0)=-1,\;f^{(3)}(0)=0,\;f^{(4)}(0)=1,\;f^{(5)}(0)=0.
Logo o polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de 0 é