Exercício 42. Encontre o polinômio de Taylor de ordem cinco em torno da origem da função f(x)= \cos (x). Use este polinômio para aproximar \cos (x) para x \in[-\pi / 32, \pi / 32] e mostre que o erro cometido nesta aproximação é menor que \frac{1}{720} \cdot 10^{-6}.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem cinco de f(x)=\cos(x) em torno de x=0 e, em seguida, usar esse polinômio para aproximar \cos(x) no intervalo [-\,\pi/32,\;\pi/32], mostrando que o erro é menor que \tfrac{1}{720}\cdot10^{-6}. Vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange.

Passo 2

Calculamos as derivadas de \cos(x) em 0 até a ordem 5 e seus valores em x=0:
\;f(x)=\cos(x)\implies f(0)=1,\;f'(0)=0,\;f''(0)=-1,\;f^{(3)}(0)=0,\;f^{(4)}(0)=1,\;f^{(5)}(0)=0.
Logo o polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de 0 é
P_{5}(x) = f(0)+f'(0)x+\tfrac{f''(0)}{2!}x^2+\tfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\tfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\tfrac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}.

Passo 3

Pelo Teorema de Taylor com resto de Lagrange, para cada x existe \xi entre 0 e x tal que
R_{5}(x)=\cos(x)-P_{5}(x) =\frac{f^{(6)}(\xi)}{6!}x^6.
Como f^{(6)}(t)=\cos(t), temos |f^{(6)}(\xi)|\le1, logo
\bigl|R_{5}(x)\bigr|\le\frac{|x|^6}{6!}=\frac{|x|^6}{720}.

Passo 4

No intervalo dado |x|\le\pi/32. Observando que \pi<3{,}2 implica
\frac{\pi}{32}<\frac{3{,}2}{32}=0{,}1,
segue
\bigl|R_{5}(x)\bigr|\le\frac{(\pi/32)^6}{720}<\frac{(0{,}1)^6}{720} =\frac{10^{-6}}{720}.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem cinco em torno da origem é
P_{5}(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!},
e o erro de aproximação em [-\,\pi/32,\;\pi/32] satisfaz
\bigl|\cos(x)-P_{5}(x)\bigr|<\frac{10^{-6}}{720}.

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