Exercício 41. Encontre o polinômio de Taylor de ordem cinco em torno da origem da função f(x)= \operatorname{sen}(x). Use este polinômio para aproximar \operatorname{sen}(x) para x \in[-\pi / 32, \pi / 32] e mostre que o erro cometido nesta aproximação é menor que 10^{-9}.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem cinco de f(x)=\operatorname{sen}(x) em torno da origem e que usemos esse polinômio para aproximar \operatorname{sen}(x) em \bigl[-\pi/32,\pi/32\bigr], mostrando que o erro é menor que 10^{-9}. Vamos lembrar que o polinômio de Taylor de ordem n de f em 0 é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k
e que o resto na forma de Lagrange é
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de \operatorname{sen}(x) em 0:
f(x)=\operatorname{sen}(x),\quad f'(x)=\cos(x),\quad f''(x)=-\operatorname{sen}(x),\quad f^{(3)}(x)=-\cos(x),\quad f^{(4)}(x)=\operatorname{sen}(x),\quad f^{(5)}(x)=\cos(x).
Em x=0 isso dá
f(0)=0,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=0,\quad f^{(3)}(0)=0,\quad f^{(4)}(0)=0,\quad f^{(5)}(0)=1.

Passo 3

Substituindo em
P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k
só aparecem termos em k=1,3,5:
P_5(x) = \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}.

Passo 4

O próximo termo não nulo na expansão de \operatorname{sen}(x) é de ordem x^7. Usamos o resto de ordem seis em diante numa forma útil: para algum \xi entre 0 e x,
R_5(x) =\frac{f^{(6)}(\xi)}{6!}\,x^6 \quad\text{com}\quad f^{(6)}(\xi)=-\operatorname{sen}(\xi).
Como \bigl|\operatorname{sen}(\xi)\bigr|\le|\xi|\le|x|, segue
|R_5(x)|\le\frac{|x|^7}{6!}=\frac{|x|^7}{720}.

Passo 5

Para |x|\le \pi/32 temos \pi/32\approx0{,}09817. Logo
|R_5(x)|\le\frac{(\pi/32)^7}{720} \approx\frac{8{,}79\times10^{-8}}{720} \approx1{,}22\times10^{-10} <10^{-9}.
Isso mostra que, no intervalo dado, o erro é menor que 10^{-9}.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem cinco em torno da origem é
P_5(x)=x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120},
e para |x|\le\pi/32 temos
\bigl|\operatorname{sen}(x)-P_5(x)\bigr|<10^{-9}.

Exercícios relacionados