Exercício 5.42 seja f(x, y)=\frac{1000 y e^{y^{-}}}{1+\frac{|x y|}{2}}, a densidade superficial da população de certo tipo de bactéria no plano x y, onde x e y são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo -4 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 4.

Passo 1

O enunciado dá a densidade superficial de bactérias
f(x,y)=\frac{1000\,y\,e^{-y}}{1+\frac{|x\,y|}{2}}
no retângulo -4\le x\le4, 0\le y\le4. Queremos a população total, ou seja, calcular a integral dupla
P=\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy,
onde R=\{(x,y)\mid -4\le x\le4,\;0\le y\le4\}.

Passo 2

Como a densidade depende de |x\,y|, o integrando é par em x. Logo
P =\int_{y=0}^{4}\int_{x=-4}^{4}\frac{1000\,y\,e^{-y}}{1+\frac{|x\,y|}{2}}\,dx\,dy =2\int_{y=0}^{4}\int_{x=0}^{4}\frac{1000\,y\,e^{-y}}{1+\frac{x\,y}{2}}\,dx\,dy.

Passo 3

Para cada y fixo, integramos em x:
\int_{0}^{4}\frac{dx}{1+\frac{x\,y}{2}} =\int_{0}^{4}\frac{dx}{1+\tfrac{y\,x}{2}} =\frac{2}{y}\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{y\,x}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{4} =\frac{2}{y}\ln\bigl(1+2y\bigr).
Multiplicando pelo fator 1000\,y\,e^{-y} e pelo 2 externo, obtemos
P =2\int_{0}^{4}1000\,y\,e^{-y}\cdot\frac{2}{y}\ln(1+2y)\,dy =4000\int_{0}^{4}e^{-y}\ln(1+2y)\,dy.

Passo 4

Ficamos com a integral unidimensional
I=\int_{0}^{4}e^{-y}\ln(1+2y)\,dy,
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P=4000\,I.

Passo 5

Para obter um valor numérico, aplicamos a Regra de Simpson com passo h=1 em y=0,1,2,3,4. Calculando
f(y)=e^{-y}\ln(1+2y),
temos
f(0)=0,\;f(1)\approx0,404,\;f(2)\approx0,218,\;f(3)\approx0,097,\;f(4)\approx0,040.
Então
I\approx\frac{1}{3}\bigl[0+4(0,404)+2(0,218)+4(0,097)+0,040\bigr]\approx0,8265.
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P=4000\times0,8265\approx3306.

Resposta

A população total de bactérias no retângulo é aproximadamente 3306.

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