Exercício 5.32 Determine a segunte integral \iiint_{D} f(r, \theta, \varphi) d r d \varphi d \theta, onde f(r, \theta, \varphi)=r^{2} \operatorname{sen}(\theta) e D é:
D=0 \leq \theta \leq \theta_{0}, 0 \leq r \leq \frac{H}{\cos (\theta)}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{D} f(r,\theta,\varphi)\,dr\,d\varphi\,d\theta,
sendo f(r,\theta,\varphi)=r^{2}\sin\theta e
D:\quad 0\le \theta\le \theta_{0},\quad 0\le r\le \frac{H}{\cos\theta},\quad 0\le \varphi\le 2\pi.
O conteúdo é integração em coordenadas esféricas, onde já nos dão o jacobiano r^{2}\sin\theta.

Passo 2

Escrevemos a integral em ordem r,\varphi,\theta:
\iiint_{D}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta =\int_{\theta=0}^{\theta_{0}}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{H/\cos\theta}r^{2}\sin\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Integramos em r:
\int_{0}^{H/\cos\theta}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{H/\cos\theta} =\frac{1}{3}\,\frac{H^{3}}{\cos^{3}\theta}.
Logo a integral vira
\int_{0}^{\theta_{0}}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\;\frac{H^{3}}{3\cos^{3}\theta}\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integramos em \varphi, que é trivial:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi.
Fica então
\frac{2\pi H^{3}}{3}\,\int_{0}^{\theta_{0}}\frac{\sin\theta}{\cos^{3}\theta}\,d\theta.

Passo 5

Para a integral em \theta, note que
\frac{\sin\theta}{\cos^{3}\theta} =\tan\theta\;\operatorname{sec}^{2}\theta,
e como \frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}^{2}\theta)=2\operatorname{sec}^{2}\theta\tan\theta, temos
\int_{0}^{\theta_{0}}\tan\theta\,\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[\operatorname{sec}^{2}\theta\Bigr]_{0}^{\theta_{0}} =\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta_{0}-1\bigr).

Passo 6

Substituindo de volta:
\frac{2\pi H^{3}}{3}\,\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta_{0}-1\bigr) =\frac{\pi H^{3}}{3}\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta_{0}-1\bigr) =\frac{\pi H^{3}}{3}\,\tan^{2}\theta_{0}.

Resposta

\iiint_{D}f(r,\theta,\varphi)\,dr\,d\varphi\,d\theta =\frac{\pi H^{3}}{3}\,\tan^{2}\theta_{0}.

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