Exercício 5.38 Dada uma superfície plana limitada pela reta y=0 e pela curva y=-x^{2}+4, e considerando a superfície de densidade \rho=4|x|.
  1. Determine a massa da superfície plana.
  2. Determine o centro de massa de dita superfície.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina de densidade variável \rho(x,y)=4\lvert x\rvert sobre a região
R = \{(x,y)\mid -2\le x\le2,\;0\le y\le -x^2+4\}.
Precisamos calcular
  1. A massa
m = \iint_{R}\rho(x,y)\,dA
  1. O centro de massa (\bar x,\bar y) dado por
\bar x = \frac{1}{m}\iint_{R}x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad \bar y = \frac{1}{m}\iint_{R}y\,\rho(x,y)\,dA.

Passo 2

Cálculo da massa:
m = \int_{x=-2}^{2}\int_{y=0}^{-x^2+4}4\lvert x\rvert\,dy\,dx = \int_{-2}^{2}4\lvert x\rvert\bigl(-x^2+4\bigr)\,dx.
Como a função f(x)=\lvert x\rvert(4-x^2) é par,
m = 2\int_{0}^{2}4\,x\,(4-x^2)\,dx =8\int_{0}^{2}(4x - x^3)\,dx.
Agora
\int_{0}^{2}(4x - x^3)\,dx =\bigl[2x^2 - \tfrac{x^4}{4}\bigr]_{0}^{2} =2\cdot4 - \tfrac{16}{4} =8 - 4 =4,
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m = 8\cdot4 = 32.

Passo 3

Cálculo de \bar x:
\iint_{R}x\,\rho\,dA = \int_{-2}^{2}\int_{0}^{-x^2+4}4x\lvert x\rvert\,dy\,dx = \int_{-2}^{2}4x\lvert x\rvert\,(4-x^2)\,dx.
Mas x\lvert x\rvert é ímpar e (4-x^2) é par, então o integrando é ímpar. Integrando em [-2,2] dá zero. Assim
\bar x = \frac{0}{m} = 0.

Passo 4

Cálculo de \bar y:
\iint_{R}y\,\rho\,dA = \int_{-2}^{2}\!4\lvert x\rvert\Bigl[\int_{0}^{-x^2+4}y\,dy\Bigr]dx = \int_{-2}^{2}4\lvert x\rvert\cdot\frac{(4-x^2)^2}{2}\,dx =2\int_{-2}^{2}\lvert x\rvert\,(4-x^2)^2\,dx.
Como o integrando é par,
2\int_{-2}^{2}\lvert x\rvert\,(4-x^2)^2\,dx =4\int_{0}^{2}x\,(4-x^2)^2\,dx =4\int_{0}^{2}(16x - 8x^3 + x^5)\,dx.
Calculando
\int_{0}^{2}(16x - 8x^3 + x^5)\,dx =\bigl[8x^2 -2x^4 + \tfrac{x^6}{6}\bigr]_{0}^{2} =8\cdot4 -2\cdot16 + \tfrac{64}{6} =32 -32 + \tfrac{64}{6} =\tfrac{64}{6}=\tfrac{32}{3},
então
\iint_{R}y\,\rho\,dA =4\cdot\tfrac{32}{3}=\tfrac{128}{3},
e
\bar y = \frac{1}{m}\,\frac{128}{3} =\frac{128}{3\cdot32} =\frac{4}{3}.

Resposta

A massa da superfície é m=32 e o centro de massa é
(\bar x,\bar y)=\Bigl(0,\tfrac{4}{3}\Bigr).

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