Exercicio 42. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores 2 \vec{i}, 2 \vec{j} e 2 \vec{k} ?

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo (neste caso, um cubo) gerado pelos vetores \,2\vec{i}, \,2\vec{j} e \,2\vec{k}. O conteúdo aqui é a determinação de volume via produto escalar triplo, que para vetores \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} vem dado por
V = \bigl|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\bigr|.

Passo 2

Como \vec{i}, \vec{j} e \vec{k} são mutuamente ortogonais e de comprimento 1, temos \mathbf{a}=2\vec{i}=(2,0,0), \mathbf{b}=2\vec{j}=(0,2,0), \mathbf{c}=2\vec{k}=(0,0,2).
Podemos montar o determinante que representa o produto escalar triplo:
V = \left|\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\right|.

Passo 3

O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
V = |2 \times 2 \times 2| = 8.

Resposta

O volume do cubo é 8.

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