Exercicio 36. Calcule \vec{v} \times \vec{w} e \vec{w} \times \vec{v} nos seguintes casos:
\vec{v}=(7,0,-5), \vec{w}=(1,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os produtos vetoriais \vec{v}\times\vec{w} e \vec{w}\times\vec{v}, onde \vec{v}=(7,0,-5) e \vec{w}=(1,2,-1).
O conteúdo é o produto vetorial em \mathbb{R}^3, que produz um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Vamos usar a definição via determinante:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 7 & 0 & -5 \\[3pt] 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores da base canônica.]

Passo 3

Calculando componente a componente:
\vec{v}\times\vec{w} = \mathbf{i}\,(0\cdot(-1)-(-5)\cdot2) - \mathbf{j}\,(7\cdot(-1)-(-5)\cdot1) + \mathbf{k}\,(7\cdot2-0\cdot1).
Fazendo as contas:
0\cdot(-1)-(-5)\cdot2 = 0+10 = 10,
7\cdot(-1)-(-5)\cdot1 = -7+5 = -2 \quad\Longrightarrow\quad -(-2)=2,
7\cdot2-0\cdot1 = 14-0 = 14.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w} = (10,\,2,\,14).

Passo 4

Usamos a propriedade anticomutativa do produto vetorial:
\vec{w}\times\vec{v} = -(\vec{v}\times\vec{w}) = -(10,\,2,\,14) = (-10,\,-2,\,-14).

Resposta

\vec{v}\times\vec{w} = (10,\,2,\,14) \vec{w}\times\vec{v} = (-10,\,-2,\,-14)

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