Exercicio 44. Determine m e n para que se tenha
a) (m, n, 2) \times(4,-1,3)=(8,-1,-11).
b) (m, n, 2) \cdot((3,1,2) \times(0,1,-1))=9.

Passo 1

O enunciado quer que a gente encontre m e n em dois cenários envolvendo produto vetorial e escalar de vetores em \mathbb{R}^3.
Conteúdo:
  • Definição de produto vetorial: se \mathbf u=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf v=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf u\times\mathbf v = (u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1).
  • Definição de produto escalar: \mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

Passo 2

Para (a), calculemos
(m,n,2)\times(4,-1,3) =(\,n\cdot3 - 2\cdot(-1),\;2\cdot4 - m\cdot3,\;m\cdot(-1) - n\cdot4\,) =(3n+2,\;8-3m,\;-m-4n).
Queremos isso igual a (8,-1,-11). Assim:
3n+2=8,\quad 8-3m=-1,\quad -m-4n=-11.
Da primeira, 3n=6 n=2.
Da segunda, -3m=-9 m=3.
A terceira confere: -3-4\cdot2=-11.

Passo 3

Para (b), primeiro o produto vetorial
(3,1,2)\times(0,1,-1) =(\,1\cdot(-1)-2\cdot1,\;2\cdot0-3\cdot(-1),\;3\cdot1-1\cdot0\,) =(-3,\;3,\;3).
Agora o escalar com (m,n,2):
(m,n,2)\cdot(-3,3,3) =-3m+3n+6.
Queremos isso igual a 9, logo
-3m+3n+6=9 \quad\Longrightarrow\quad -3m+3n=3 \quad\Longrightarrow\quad -m+n=1 \quad\Longrightarrow\quad n=m+1.

Resposta

(a) m=3, n=2.
(b) n=m+1.

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