Exercício 44. Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3. Obtenha a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas:
a) no máximo duas partículas
b) no mínimo duas partículas
a) no máximo duas partículas
b) no mínimo duas partículas
Passo 1
A questão fala de um contador Geiger que registra partículas por segundo, onde o número de partículas é modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro λ=3. Precisamos achar duas probabilidades: P(X≤2) (no máximo duas partículas) e P(X≥2) (no mínimo duas).
Passo 2
Na distribuição de Poisson com parâmetro λ, a probabilidade de X=k é dada por
Aqui, λ=3.
Vamos calcular então P(X=k) para k=0,1,2:
Vamos calcular então P(X=k) para k=0,1,2:
Passo 3
Para P(X≤2) somamos P(0)+P(1)+P(2):
Passo 4
Para P(X≥2) usamos a regra do complemento: P(X≥2)=1–P(X≤1). Como P(X≤1)=P(0)+P(1)=e{-3}(1+3)=4e{-3}, temos
Resposta
a) P(X≤2)=8,5·e^(−3) ≈ 0,4232
b) P(X≥2)=1–4·e^(−3) ≈ 0,8009
b) P(X≥2)=1–4·e^(−3) ≈ 0,8009