Exercício 44. Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3. Obtenha a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas:
a) no máximo duas partículas
b) no mínimo duas partículas

Passo 1

A questão fala de um contador Geiger que registra partículas por segundo, onde o número de partículas é modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro λ=3. Precisamos achar duas probabilidades: P(X≤2) (no máximo duas partículas) e P(X≥2) (no mínimo duas).

Passo 2

Na distribuição de Poisson com parâmetro λ, a probabilidade de X=k é dada por
P(X=k) = e^-lambda lambda^kk!
Aqui, λ=3.
Vamos calcular então P(X=k) para k=0,1,2:
P(X=0) = e^-3 3^00! = e^-3,
P(X=1) = e^-3 3^11! = 3e^-3,
P(X=2) = e^-3 3^22! = 92e^-3 = 4,5,e^-3

Passo 3

Para P(X≤2) somamos P(0)+P(1)+P(2):
P(X<=2) = e^-3l(1 + 3 + 4,5r) = 8,5,e^-3 approx 0,4232

Passo 4

Para P(X≥2) usamos a regra do complemento: P(X≥2)=1–P(X≤1). Como P(X≤1)=P(0)+P(1)=e{-3}(1+3)=4e{-3}, temos
P(X>=2) = 1 - 4e^-3 approx 1 - 0,1991 = 0,8009

Resposta

a) P(X≤2)=8,5·e^(−3) ≈ 0,4232
b) P(X≥2)=1–4·e^(−3) ≈ 0,8009

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