Exercício 5.44 (O) momento de inercia I de uma particula pontual infinitesimal de massa dm em relação a um eixo (L) dado, se calcula assim (d I=r^{2} d m), sendo ® a distancia da particula ao eixo (L). Determine o momento de inércia de uma lâmina círcular homogênea de raio ® e massa (M), em relação:
Ao eizo horizontal y que passa pela reta diametral da lâmina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.
Ao eizo horizontal y que passa pela reta diametral da lâmina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.
Passo 1
O enunciado trata de uma lâmina circular homogênea de raio
e massa
, situada no plano
e centrada na origem. Queremos calcular seu momento de inércia em relação ao eixo
(reta diametral horizontal). Para isso vamos usar a definição
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo
.
Passo 2
Como a lâmina é homogênea, a densidade superficial é
e portanto
Cada ponto
da lâmina está a uma distância
do eixo
, então
Passo 3
Vamos integrar sobre todo o disco usando coordenadas polares
, com
e
variando de
a
,
de
a
. Assim
Separe as integrais:
Logo,
Resposta
O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo
vale