Exercício 5.44 (O) momento de inercia I de uma particula pontual infinitesimal de massa dm em relação a um eixo (L) dado, se calcula assim (d I=r^{2} d m), sendo ® a distancia da particula ao eixo (L). Determine o momento de inércia de uma lâmina círcular homogênea de raio ® e massa (M), em relação:
Ao eizo horizontal y que passa pela reta diametral da lâmina.
A lâmina está localizada no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.

Passo 1

O enunciado trata de uma lâmina circular homogênea de raio R e massa M, situada no plano xy e centrada na origem. Queremos calcular seu momento de inércia em relação ao eixo y (reta diametral horizontal). Para isso vamos usar a definição
dI = r^2\,dm
onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo y.

Passo 2

Como a lâmina é homogênea, a densidade superficial é
\sigma = \frac{M}{\text{área}} = \frac{M}{\pi R^2},á
e portanto
dm = \sigma\,dA = \frac{M}{\pi R^2}\,dA.
Cada ponto (x,y) da lâmina está a uma distância \lvert x\rvert do eixo y, então
dI = x^2\,dm = x^2\,\frac{M}{\pi R^2}\,dA.

Passo 3

Vamos integrar sobre todo o disco usando coordenadas polares (r,\theta), com
x = r\cos\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e r variando de 0 a R, \theta de 0 a 2\pi. Assim
I_y = \int dI = \frac{M}{\pi R^2}\,\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} (r\cos\theta)^2\;r\,dr\,d\theta.
Separe as integrais:
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\!\theta\,d\theta = \pi, \qquad \int_{0}^{R}r^3\,dr = \frac{R^4}{4}.
Logo,
I_y = \frac{M}{\pi R^2}\;\bigl(\pi\bigr)\;\frac{R^4}{4} = \frac{M\,R^2}{4}.

Resposta

O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo y vale
I_y = \frac{1}{4}\,M\,R^2.

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