Exercício 5.47 Determine o momento de inércia de um cilindro de raio R e altura H, em relação ao eixo axial do cilindro, nos seguintes casos.
  1. O cilindro de massa M é homogêneo.
  2. o cilindro tem densidade \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+1
A base do cilindro se encontra no plano xy e centralizada na origem de coordenadas.

Passo 1

Temos um cilindro de raio R e altura H, apoiado com a base no plano xy centrado na origem, e queremos o momento de inércia em relação ao seu eixo axial (eixo z). O conteúdo que vamos usar é a definição
I=\int_{V}(x^{2}+y^{2})\,\rho(x,y,z)\,dV
e coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), em que x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Caso 1: cilindro homogêneo de massa M. A densidade é constante
\rho_{0}=\frac{M}{\text{Volume}}=\frac{M}{\pi R^{2}H}.
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I_{\text{hom}}=\int_{V}r^{2}\,\rho_{0}\,dV =\rho_{0}\int_{0}^{H}\!\!\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R}r^{2}\bigl(r\,dr\,d\theta\,dz\bigr).
Calculando,
\int_{0}^{R}r^{3}dr=\frac{R^{4}}{4},\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_{0}^{H}dz=H,
então
I_{\text{hom}} =\frac{M}{\pi R^{2}H}\;2\pi H\;\frac{R^{4}}{4} =\frac{1}{2}\,M\,R^{2}.

Passo 3

Caso 2: densidade variável \rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+1. Em coordenadas cilíndricas \rho(r,\theta,z)=r^{2}+1, e
I=\int_{V}r^{2}\,\rho(r,\theta,z)\,dV =\int_{0}^{H}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} r^{2}\,(r^{2}+1)\,(r\,dr\,d\theta\,dz).

Passo 4

Executando as integrais em r,\theta,z:
\int_{0}^{R}r^{3}(r^{2}+1)\,dr =\int_{0}^{R}\bigl(r^{5}+r^{3}\bigr)dr =\frac{R^{6}}{6}+\frac{R^{4}}{4},
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \quad \int_{0}^{H}dz=H.
Portanto
I =2\pi H\Bigl(\frac{R^{6}}{6}+\frac{R^{4}}{4}\Bigr) =\frac{\pi H}{6}\bigl(2R^{6}+3R^{4}\bigr).

Resposta

  1. I_{\text{hom}}=\displaystyle\frac{1}{2}\,M\,R^{2}.
  2. I=\displaystyle\frac{\pi H}{6}\bigl(2R^{6}+3R^{4}\bigr).

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