Exercício 44. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 3, calcule um valor aproximado de:
\cos (0.1)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos(0{,}1) usando o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 3 em torno de x=0. Para isso, vamos calcular as derivadas de f(x)=\cos x em 0 e montar
P_{3}(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=\cos x e seus valores em 0:
f(0)=\cos0=1 f'(x)=-\sin x \Rightarrow f'(0)=-\sin0=0 f''(x)=-\cos x \Rightarrow f''(0)=-\cos0=-1 f'''(x)=\sin x \Rightarrow f'''(0)=\sin0=0

Passo 3

Substituindo em
P_{3}(x)=1+0\cdot x+\frac{-1}{2!}x^{2}+0\cdot\frac{x^{3}}{3!}
obtemos
P_{3}(x)=1-\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Agora, avaliaremos em x=0{,}1:
P_{3}(0{,}1)=1-\frac{(0{,}1)^{2}}{2}=1-\frac{0{,}01}{2}=1-0{,}005=0{,}995.

Resposta

A aproximação de \cos(0{,}1) pelo polinômio de Taylor de ordem 3 é aproximadamente 0{,}995.

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