Exercício 44. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 3, calcule um valor aproximado de:
\operatorname{sen}(0.1)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sin(0.1) usando o polinômio de Taylor de ordem 3 centrado em zero. O conteúdo envolve calcular as derivadas de \sin x até a terceira ordem em x=0 e aplicar a fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=\sin x em x=0:
\;f(0)=0,
\;f'(x)=\cos x implica f'(0)=1,
\;f''(x)=-\sin x implica f''(0)=0,
\;f'''(x)=-\cos x implica f'''(0)=-1.
Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3 é
P_3(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3 =0+1\cdot x+0\cdot\frac{x^2}{2!}+\frac{-1}{3!}x^3 = x - \frac{x^3}{6}.

Passo 3

Substituímos x=0.1 em P_3:
P_3(0.1)=0.1 - \frac{(0.1)^3}{6} =0.1 - \frac{0.001}{6}.

Passo 4

Calculando numericamente, temos
\frac{0.001}{6}=0.000166666\ldots
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P_3(0.1)\approx 0.1 - 0.000166667 = 0.099833333.

Resposta

\sin(0.1)\approx 0.0998333

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