Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma primitiva da função f(x)=\cos(3x). Isso envolve reconhecer a regra da cadeia invertida: se a derivada de \sin(3x) é 3\cos(3x), então uma primitiva de \cos(3x) deve compensar esse fator 3.

Passo 2

Fazemos a substituição auxiliar
u = 3x,
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du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Portanto
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=3x, a primitiva geral é
F(x) = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.

Resposta

\frac{1}{3}\sin(3x) + C

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