Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
e^{2x},
ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=e^{2x}. Para isso, vamos usar o fato de que a derivada de e^{ax} é a\,e^{ax}.

Passo 2

Como
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2\,e^{2x},
para obtermos exatamente e^{2x} ao derivar, basta “compensar” esse fator 2. Logo, adotamos
F(x)=\frac{1}{2}\,e^{2x}.

Passo 3

Conferindo,
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\,e^{2x}=e^{2x},
o que mostra que F(x)=\tfrac12e^{2x} é realmente uma primitiva de e^{2x}.

Resposta

F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+C

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