Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \frac{x^{2}-5 x+1}{3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) de
\int \frac{x^{2}-5x+1}{3x^{2}}\,dx.
O conteúdo é cálculo de integral indefinida, usando decomposição em potências de x e aplicando as regras
– regra do polinômio: \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1)
– regra do logaritmo: \int x^{-1}dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 2

Simplificamos o integrando dividindo cada termo por 3x^{2}:
\frac{x^{2}-5x+1}{3x^{2}} = \frac{1}{3}\biggl(\frac{x^{2}}{x^{2}} - 5\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\biggr) = \frac{1}{3}\bigl(1 - 5x^{-1} + x^{-2}\bigr).

Passo 3

Separamos a integral em termos mais simples:
\int \frac{x^{2}-5x+1}{3x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\Bigl(\int 1\,dx - 5\int x^{-1}dx + \int x^{-2}dx\Bigr).
Aplicando as fórmulas:
\int 1\,dx = x,\quad \int x^{-1}dx = \ln\lvert x\rvert,\quad \int x^{-2}dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo os resultados na expressão:
\frac{1}{3}\Bigl(x - 5\ln\lvert x\rvert - \tfrac{1}{x}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ F(x) = \frac{x}{3} \;-\;\frac{5}{3}\ln\lvert x\rvert \;-\;\frac{1}{3x} + C }.

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