Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O exercício pede a primitiva de \sin(2x), ou seja, queremos calcular
\int \sin(2x)\,dx.
Para isso, vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x, \quad du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Substituindo na integral, fica
\int \sin(2x)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{2} = \frac12 \int \sin(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Então
\frac12 \int \sin(u)\,du = -\frac12 \cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x (lembre que u=2x), obtemos
\int \sin(2x)\,dx = -\frac12 \cos(2x) + C.

Resposta

-\tfrac12\cos(2x) + C

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