Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int\left(4 \sqrt[5]{x^{2}}-\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma primitiva da função
\int\bigl(4 \sqrt[5]{x^{2}} - \sqrt{x}\bigr)\,dx
O conteúdo aqui é a regra do poder para integração de potências, ou seja,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.

Passo 2

Reescrevemos cada radical em forma de potência:
\sqrt[5]{x^{2}} = x^{2/5}, \qquad \sqrt{x} = x^{1/2}.
Logo o integral fica
\int\bigl(4x^{2/5} - x^{1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder a cada termo separadamente:
  • Para 4x^{2/5}, tome n = \tfrac{2}{5}: \int 4x^{2/5}\,dx = 4 \cdot \frac{x^{(2/5)+1}}{(2/5)+1} = 4 \cdot \frac{x^{7/5}}{7/5} = \frac{20}{7}\,x^{7/5}.
  • Para -x^{1/2}, tome n = \tfrac{1}{2}: \int -x^{1/2}\,dx = -\,\frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = -\,\frac{x^{3/2}}{3/2} = -\frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 4

Somamos as duas primitivas e adicionamos a constante de integração C.

Resposta

\frac{20}{7}\,x^{7/5} \;-\;\frac{2}{3}\,x^{3/2} + C

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