Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\quad \int \operatorname{sen}^{7} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função \sin^{7}x\cos x. O conteúdo aqui é integração por substituição simples, pois vemos um produto de \sin x elevado a uma potência e \cos x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x,
portanto
du = \cos x\,dx.
Isso é útil porque no integrando temos exatamente o fator \cos x\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \sin^{7}x\cos x\,dx = \int u^{7}\,du.

Passo 4

Agora integramos em função de u:
\int u^{7}\,du = \frac{u^{8}}{8} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = \sin x e concluímos que a primitiva é
\frac{\sin^{8}x}{8} + C.

Resposta

A primitiva de \sin^{7}x\cos x é
\frac{\sin^{8}x}{8} + C.

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