Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\int \operatorname{tg}^{3} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
\int \tan^{3}x\;\cos x\;dx.
O conteúdo aqui é transformação usando frações trigonométricas e substituição simples. Vamos reescrever a integral em termos de \sin x e \cos x e depois usar a substituição u=\cos x.

Passo 2

Reescrevendo
\tan^{3}x\;\cos x =\frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x}\,\cos x =\frac{\sin^{3}x}{\cos^{2}x} =\frac{\sin^{2}x\;\sin x}{\cos^{2}x}
e como \sin^{2}x=1-\cos^{2}x,
\tan^{3}x\;\cos x =\frac{(1-\cos^{2}x)\,\sin x}{\cos^{2}x}.

Passo 3

Tomamos a substituição
u=\cos x, \qquad du=-\sin x\,dx.
Assim, \sin x\,dx=-du e a integral fica
\int \frac{(1-\cos^{2}x)\,\sin x}{\cos^{2}x}\,dx =-\int \frac{1-u^{2}}{u^{2}}\,du.

Passo 4

No integrando, separamos a fração:
\frac{1-u^{2}}{u^{2}} =\frac{1}{u^{2}}-1 =u^{-2}-1.
Logo
-\int \frac{1-u^{2}}{u^{2}}\,du =-\int\bigl(u^{-2}-1\bigr)\,du =-\int u^{-2}\,du+\int 1\,du.

Passo 5

Calculando as antiderivadas:
-\int u^{-2}\,du =-\bigl(u^{-1}\,/(-1)\bigr) = u^{-1},
\int 1\,du = u.
Somando e incluindo constante C, obtemos
u^{-1}+u + C =\frac{1}{u}+u + C.

Passo 6

Voltando a x com u=\cos x:
\frac{1}{u}+u + C =\operatorname{sec} x + \cos x + C.

Resposta

\int \tan^{3}x\;\cos x\;dx =\operatorname{sec} x + \cos x + C.

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