Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\quad \int \operatorname{sen}(2 x) \sqrt{1+\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
\int \operatorname{sen}(2x)\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, explorando a identidade trigonométrica para expressar \operatorname{sen}(2x) de modo a obter um du simples.

Passo 2

Use a identidade
\operatorname{sen}(2x) = 2\,\operatorname{sen} x\,\cos x.
Substituindo no integrando, fica
\int \operatorname{sen}(2x)\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx = \int 2\,\operatorname{sen} x\,\cos x\,\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx.

Passo 3

Escolha a substituição
u = 1 + \cos^2 x.
Então
du = 2\,\cos x\cdot(-\operatorname{sen} x)\,dx = -2\,\operatorname{sen} x\,\cos x\,dx,
ou seja,
2\,\operatorname{sen} x\,\cos x\,dx = -\,du.

Passo 4

Reescrevendo o integral em u:
\int 2\,\operatorname{sen} x\,\cos x\,\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx = \int -\sqrt{u}\,du = -\int u^{\tfrac12}\,du.
Integrando em u:
-\int u^{\tfrac12}\,du = -\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = -\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 5

Retornando à variável x (lembre que u=1+\cos^2 x), a primitiva é
-\frac{2}{3}\bigl(1+\cos^2 x\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

-\frac{2}{3}\bigl(1+\cos^2 x\bigr)^{\tfrac32} + C.

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