Exercício 46 : Resolva a inequação
\log _{0,5}(x-2)>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\log_{0,5}(x-2) > 1.
O conteúdo é análise de logaritmos com base em (0,1), que são funções decrescentes. Vamos precisar de (a) domínio da expressão dentro do log e (b) comportamento da função logarítmica quando a base é menor que 1.

Passo 2

Determinar o domínio da função logarítmica exige que o argumento seja positivo:
x - 2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > 2.

Passo 3

Como a base 0,5 está entre 0 e 1, a função \log_{0,5}(y) é estritamente decrescente em y>0. Logo, ao multiplicar ou comparar, inverte-se o sentido da desigualdade. Assim,
\log_{0,5}(x-2)>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x-2 < (0,5)^{1}.

Passo 4

Calcular o valor de (0,5)^{1}:
(0,5)^{1} = 0{,}5.
Portanto a desigualdade fica
x - 2 < 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x < 2{,}5.

Passo 5

Combinar com o domínio x>2. Assim o conjunto de soluções é
2 < x < 2{,}5.

Resposta

2<x<2{,}5

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