Exercício 49. (Composição e inversa) Considere
rotação de
e
reflexão em torno do eixo
. Calcule matrizes e
e compare
.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações no plano:
é a rotação de
(no sentido anti-horário, salvo indicação em contrário) e
é a reflexão em torno do eixo
. Pede-se para calcular as matrizes de
e comparar com
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
= rotação de . -
= reflexão em torno do eixo . - Devemos obter as matrizes das composições
e (e comparar, isto é, ver se são iguais ou não).
Passo 2
Entender como representamos rotações e reflexões por matrizes (aula rápida). Quando trabalhamos no plano com a base canônica
e vetores coluna, uma transformação linear
é representada por uma matriz
tal que, para todo vetor coluna
, a imagem
é dada por
. A composição
corresponde à multiplicação de matrizes na ordem
porque aplicamos
primeiro (multiplica por
) e depois
(multiplica por
). Vou usar isso diretamente.
Passo 3
Matriz da rotação de
. Fórmula geral: a rotação de ângulo
tem matriz
Para
temos
e
. Logo a matriz de
é
Explicando: essa matriz manda
em
e
em
, que é exatamente o efeito de girar
no sentido anti-horário.]
Passo 4
Matriz da reflexão em torno do eixo
. A reflexão no eixo
envia um ponto
em
. Assim, em coordenadas canônicas:
-
(eixo ) fica . -
fica .
Portanto a matriz é diagonal com entradase :
Passo 5
Regra de composição aplicada aqui. Para
aplicamos
primeiro e depois
. Logo a matriz da composição é
Vou calcular essa multiplicação passo a passo.
Passo 6
Cálculo de
. Temos
Multiplicando
:
- Entrada (1,1):
. - Entrada (1,2):
. - Entrada (2,1):
. - Entrada (2,2):
.
Logo
Passo 7
Interpretação geométrica de
. Vendo o efeito nas base canônica:
-
, -
.
Isto corresponde precisamente à reflexão em torno da reta. Assim é a reflexão no eixo .
Passo 8
Agora calculamos
. Pela mesma regra de composição:
Faço a multiplicação
.
Passo 9
Cálculo de
. Usando as mesmas matrizes,
Multiplicando
:
- Entrada (1,1):
. - Entrada (1,2):
. - Entrada (2,1):
. - Entrada (2,2):
.
Logo
Passo 10
Interpretação geométrica de
. Observando as imagens:
-
, -
.
Isto é a reflexão em torno da reta. Portanto é a reflexão no eixo .
Passo 11
Comparação final e conclusão: as duas composições têm matrizes diferentes,
logo
. Geometricamente, trocar a ordem trocou a reta de reflexão (
versus
), então as transformações não comutam.]