Exercício 49. (Composição e inversa) Considere R rotação de 90^{\circ} e S reflexão em torno do eixo x. Calcule matrizes e S \circ R e compare \operatorname{com} R \circ S.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações no plano: R é a rotação de 90^\circ (no sentido anti-horário, salvo indicação em contrário) e S é a reflexão em torno do eixo x. Pede-se para calcular as matrizes de S\circ R e comparar com R\circ S.
Informações relevantes fornecidas:
  • R = rotação de 90^\circ.
  • S = reflexão em torno do eixo x.
  • Devemos obter as matrizes das composições S\circ R e R\circ S (e comparar, isto é, ver se são iguais ou não).

Passo 2

Entender como representamos rotações e reflexões por matrizes (aula rápida). Quando trabalhamos no plano com a base canônica \{(1,0),(0,1)\} e vetores coluna, uma transformação linear T é representada por uma matriz M_T tal que, para todo vetor coluna v, a imagem T(v) é dada por M_T v. A composição T_2\circ T_1 corresponde à multiplicação de matrizes na ordem M_{T_2} M_{T_1} porque aplicamos T_1 primeiro (multiplica por M_{T_1}) e depois T_2 (multiplica por M_{T_2}). Vou usar isso diretamente.

Passo 3

Matriz da rotação de 90^\circ. Fórmula geral: a rotação de ângulo \theta tem matriz
\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Para \theta=90^\circ temos \cos90^\circ=0 e \sin90^\circ=1. Logo a matriz de R é
M_R = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Explicando: essa matriz manda (1,0) em (0,1) e (0,1) em (-1,0), que é exatamente o efeito de girar 90^\circ no sentido anti-horário.]

Passo 4

Matriz da reflexão em torno do eixo x. A reflexão no eixo x envia um ponto (x,y) em (x,-y). Assim, em coordenadas canônicas:
  • (1,0) (eixo x) fica (1,0).
  • (0,1) fica (0,-1).
    Portanto a matriz é diagonal com entradas 1 e -1:
M_S = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Regra de composição aplicada aqui. Para S\circ R aplicamos R primeiro e depois S. Logo a matriz da composição é
M_{S\circ R} = M_S\,M_R.
Vou calcular essa multiplicação passo a passo.

Passo 6

Cálculo de M_S M_R. Temos
M_S=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\qquad M_R=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando M_S M_R:
  • Entrada (1,1): 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Entrada (1,2): 1\cdot (-1) + 0\cdot 0 = -1.
  • Entrada (2,1): 0\cdot 0 + (-1)\cdot 1 = -1.
  • Entrada (2,2): 0\cdot (-1) + (-1)\cdot 0 = 0.
    Logo
M_{S\circ R} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação geométrica de M_{S\circ R}. Vendo o efeito nas base canônica:
  • (1,0)\mapsto (0,-1),
  • (0,1)\mapsto (-1,0).
    Isto corresponde precisamente à reflexão em torno da reta y=-x. Assim S\circ R é a reflexão no eixo y=-x.

Passo 8

Agora calculamos R\circ S. Pela mesma regra de composição:
M_{R\circ S} = M_R\,M_S.
Faço a multiplicação M_R M_S.

Passo 9

Cálculo de M_R M_S. Usando as mesmas matrizes,
M_R=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad M_S=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Multiplicando M_R M_S:
  • Entrada (1,1): 0\cdot 1 + (-1)\cdot 0 = 0.
  • Entrada (1,2): 0\cdot 0 + (-1)\cdot (-1) = 1.
  • Entrada (2,1): 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.
  • Entrada (2,2): 1\cdot 0 + 0\cdot (-1) = 0.
    Logo
M_{R\circ S} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 10

Interpretação geométrica de M_{R\circ S}. Observando as imagens:
  • (1,0)\mapsto (0,1),
  • (0,1)\mapsto (1,0).
    Isto é a reflexão em torno da reta y=x. Portanto R\circ S é a reflexão no eixo y=x.

Passo 11

Comparação final e conclusão: as duas composições têm matrizes diferentes,
M_{S\circ R}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad M_{R\circ S}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
logo S\circ R \neq R\circ S. Geometricamente, trocar a ordem trocou a reta de reflexão ( y=-x versus y=x), então as transformações não comutam.]

Resposta

\displaystyle M_{S\circ R}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}
\displaystyle M_{R\circ S}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
\displaystyle S\circ R \neq R\circ S]

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