Exercício 47. Seja
que, a cada instante
dá a posição
de um objeto se movendo em apenas uma dimensão. Mostre que se o objeto começa e termina na mesma posição, então existe um instante de tempo
cuja velocidade é
.
Passo 1
Dados do enunciado: a função
fornece a posição do objeto no instante
. Temos que o objeto começa e termina na mesma posição, ou seja
Também usamos que a velocidade
é a derivada de
, isto é
, portanto assumimos que
é diferenciável em
e contínua em
. O que o enunciado pede: provar que existe um instante
tal que
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): vamos separar em dois casos simples: (i)
é constante em
; (ii)
não é constante em
. Em (i) a conclusão é imediata. Em (ii) usaremos duas ferramentas fundamentais que vou explicar com calma: o Teorema do Valor Extremo (uma função contínua em um intervalo fechado atinge máximo e mínimo) e um lema sobre derivadas em extremos locais (se
é diferenciável e tem extremo local no interior, então a derivada ali é zero). Com essas duas ideias encontraremos um ponto interior onde
.
Passo 3
Caso (i): suponha que
seja constante em
. Então existe
tal que para todo
A derivada de uma função constante é zero em todo ponto onde é derivável, logo para qualquer
temos
ou seja
. Esse caso está resolvido.
Passo 4
Agora o caso (ii):
não é constante em
. Primeiro, explicando o Teorema do Valor Extremo: como
é contínua em
(intervalo fechado e limitado), existe pelo menos um ponto onde
atinge o máximo e pelo menos um ponto onde
atinge o mínimo no intervalo. Ou seja, existem
tais que, para todo
,
Como
não é constante mas
, pelo menos um desses extremos não pode ocorrer simultaneamente apenas nos pontos
e
. Para ver isso de forma concreta: se para todo
tivéssemos
e também
então
seria constante; como não é, existe
tal que ou
ou
. No primeiro caso, o máximo é estritamente maior que
e, portanto, o ponto de máximo não pode ser apenas
ou
; logo existe um ponto de máximo em
. No segundo caso, o mínimo é estritamente menor que
e então existe um ponto de mínimo em
. Concluímos que há pelo menos um extremo global (máximo ou mínimo) em algum ponto interior
.
Passo 5
Lema (derivada em extremo interior): se
é diferenciável em um ponto interior
de um intervalo e tem um extremo local em
(isto é, existe intervalo pequeno onde
é máxima ou mínima comparado aos pontos próximos), então
. Vou provar isso de forma direta e elementar. Suponha sem perda de generalidade que
tem um máximo local em
. Então, para
suficientemente pequeno e positivo, temos
ou seja
Para
pequeno também vale
, e dividindo por
(note que
muda o sinal) obtemos
Como
é diferenciável em
, os limites à direita e à esquerda das razões incrementais existem e são iguais a
. A partir das desigualdades anteriores, o limite por
é
e o limite por
é
. Como esses limites são iguais (pela diferenciabilidade), a única possibilidade é que
O mesmo raciocínio funciona se
tiver um mínimo local em
. Esse é um resultado simples e muito útil (às vezes chamado de Teorema de Fermat para derivadas).
Passo 6
Aplicando o lema ao nosso caso: encontramos um ponto
que é máximo ou mínimo global de
em
, e esse extremo é também local (pois numa vizinhança ele domina os valores). Como
é diferenciável em
, pelo lema temos
Recordando que
, obtemos
. Isso prova a existência de um instante
em que a velocidade é nula.
Passo 7
Pequena intuição/exemplo para fixar: pense em
em
. Temos
. A derivada é
, e de fato existe
tal que
. Então o objeto saiu de uma posição, deu uma volta e voltou, e em algum instante (no topo da “curva”) a velocidade passou por zero — isso é exatamente o que mostramos de forma geral.
Resposta
Existe
tal que
.