Exercício 47. Seja s:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} que, a cada instante t \in[a, b] dá a posição s(t) de um objeto se movendo em apenas uma dimensão. Mostre que se o objeto começa e termina na mesma posição, então existe um instante de tempo \xi \in(a, b) cuja velocidade é v(\xi)=0.

Passo 1

Dados do enunciado: a função s:[a,b]\to\mathbb{R} fornece a posição do objeto no instante t. Temos que o objeto começa e termina na mesma posição, ou seja
s(a)=s(b).
Também usamos que a velocidade v(t) é a derivada de s, isto é v(t)=s'(t), portanto assumimos que s é diferenciável em (a,b) e contínua em [a,b]. O que o enunciado pede: provar que existe um instante \xi\in(a,b) tal que
v(\xi)=0.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): vamos separar em dois casos simples: (i) s é constante em [a,b]; (ii) s não é constante em [a,b]. Em (i) a conclusão é imediata. Em (ii) usaremos duas ferramentas fundamentais que vou explicar com calma: o Teorema do Valor Extremo (uma função contínua em um intervalo fechado atinge máximo e mínimo) e um lema sobre derivadas em extremos locais (se s é diferenciável e tem extremo local no interior, então a derivada ali é zero). Com essas duas ideias encontraremos um ponto interior onde s'(t)=0.

Passo 3

Caso (i): suponha que s seja constante em [a,b]. Então existe C\in\mathbb{R} tal que para todo t\in[a,b]
s(t)=C.
A derivada de uma função constante é zero em todo ponto onde é derivável, logo para qualquer \xi\in(a,b) temos
s'(\xi)=0,
ou seja v(\xi)=0. Esse caso está resolvido.

Passo 4

Agora o caso (ii): s não é constante em [a,b]. Primeiro, explicando o Teorema do Valor Extremo: como s é contínua em [a,b] (intervalo fechado e limitado), existe pelo menos um ponto onde s atinge o máximo e pelo menos um ponto onde s atinge o mínimo no intervalo. Ou seja, existem t_{\max},t_{\min}\in[a,b] tais que, para todo t\in[a,b],
s(t_{\min})\le s(t)\le s(t_{\max}).
Como s não é constante mas s(a)=s(b), pelo menos um desses extremos não pode ocorrer simultaneamente apenas nos pontos a e b. Para ver isso de forma concreta: se para todo t tivéssemos s(t)\ge s(a) e também s(t)\le s(a) então s seria constante; como não é, existe t_0\in[a,b] tal que ou s(t_0)>s(a) ou s(t_0)<s(a). No primeiro caso, o máximo é estritamente maior que s(a)=s(b) e, portanto, o ponto de máximo não pode ser apenas a ou b; logo existe um ponto de máximo em (a,b). No segundo caso, o mínimo é estritamente menor que s(a) e então existe um ponto de mínimo em (a,b). Concluímos que há pelo menos um extremo global (máximo ou mínimo) em algum ponto interior \xi\in(a,b).

Passo 5

Lema (derivada em extremo interior): se f é diferenciável em um ponto interior c de um intervalo e tem um extremo local em c (isto é, existe intervalo pequeno onde f\text{(c)} é máxima ou mínima comparado aos pontos próximos), então f'\text{(c)}=0. Vou provar isso de forma direta e elementar. Suponha sem perda de generalidade que f tem um máximo local em c. Então, para h suficientemente pequeno e positivo, temos
f(c+h)\le f\text{(c)},
ou seja
\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\le 0 \quad\text{para }h>0\text{ pequeno.}
Para h<0 pequeno também vale f(c+h)\le f\text{(c)}, e dividindo por h (note que h<0 muda o sinal) obtemos
\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\ge 0 \quad\text{para }h<0\text{ pequeno.}
Como f é diferenciável em c, os limites à direita e à esquerda das razões incrementais existem e são iguais a f'\text{(c)}. A partir das desigualdades anteriores, o limite por h\to0^+ é \le 0 e o limite por h\to0^- é \ge 0. Como esses limites são iguais (pela diferenciabilidade), a única possibilidade é que
f'\text{(c)}=0.
O mesmo raciocínio funciona se f tiver um mínimo local em c. Esse é um resultado simples e muito útil (às vezes chamado de Teorema de Fermat para derivadas).

Passo 6

Aplicando o lema ao nosso caso: encontramos um ponto \xi\in(a,b) que é máximo ou mínimo global de s em [a,b], e esse extremo é também local (pois numa vizinhança ele domina os valores). Como s é diferenciável em \xi, pelo lema temos
s'(\xi)=0.
Recordando que v(t)=s'(t), obtemos v(\xi)=0. Isso prova a existência de um instante \xi\in(a,b) em que a velocidade é nula.

Passo 7

Pequena intuição/exemplo para fixar: pense em s(t)=\cos t em [0,2\pi]. Temos s(0)=s(2\pi)=1. A derivada é s'(t)=-\sin t, e de fato existe \xi=\pi\in(0,2\pi) tal que s'(\pi)=0. Então o objeto saiu de uma posição, deu uma volta e voltou, e em algum instante (no topo da “curva”) a velocidade passou por zero — isso é exatamente o que mostramos de forma geral.

Resposta

Existe \xi\in(a,b) tal que v(\xi)=0.

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