Exercício 46. Determine os pontos de máximo e mínimo da função
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os pontos de máximo e mínimo no intervalo fechado
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Perguntas que precisamos responder:
- Quais são os pontos de máximo (relativo e absoluto) de
em ? - Quais são os pontos de mínimo (relativo e absoluto) de
em ?
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática): em um intervalo fechado, para achar máximos e mínimos absolutos de uma função diferenciável, basta:
- Encontrar os pontos críticos na parte interna do intervalo — ou seja, os
tais que ou onde não existe. - Avaliar
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo. - Comparar os valores; o maior valor dá o máximo absoluto e o menor valor dá o mínimo absoluto.
Agora vamos aplicar isso passo a passo. Primeiro precisamos da derivada
. Vou explicar a regra usada: se temos
, a derivada é
(essa é a regra da cadeia: derivada da exponencial vezes a derivada do expoente).
Aqui
. Então
. Aplicando a regra:
Passo 3
Cálculo da derivada:
Observações úteis:
- A função exponencial
é sempre positiva para todo , isto é, . - Portanto o sinal de
é dado pelo fator .
Resolver
:
Como
para todo
, a única solução vem de
, ou seja
Não há pontos onde
seja indefinida (pois
existe para todo
), então o único ponto crítico interior é
.
Passo 4
Análise do sinal de
para entender monotonicidade (isso ajuda a ver onde estão máximos/minimos locais):
- Para
: temos e , logo . Então é crescente em . - Para
: temos e , logo . Então é decrescente em .
Conclusão desta análise: a função cresce até
e depois decresce, portanto
é um ponto de máximo local (e, como veremos, absoluto no intervalo).
Passo 5
Teste da segunda derivada (confirmação): vamos derivar
usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Podemos reescrever:
Avaliação em
:
Como
, a concavidade é para baixo em
, confirmando que
é um máximo local.
Passo 6
Agora avaliamos a função nos candidatos (ponto crítico interior e extremos do intervalo) para encontrar máximos e mínimos absolutos.
Avaliações:
Observação:
é um número positivo menor que
, então
é maior que
.
Passo 7
Comparando os valores:
- Maior valor entre os avaliados:
. Logo o máximo absoluto no intervalo ocorre em . - Menor valor entre os avaliados:
. Como os dois extremos dão o mesmo valor mínimo, há mínimos absolutos em e .
Resposta
Máximo absoluto em
:
Mínimos absolutos em :
Mínimos absolutos em