Exercício 46. Determine os pontos de máximo e mínimo da função
f(x)=e^{-x^{2}}
no intervalo [-2,2].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{-x^{2}}
e pede para determinar os pontos de máximo e mínimo no intervalo fechado [-2,2].
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{função: } f(x)=e^{-x^{2}},\qquad \text{intervalo: } [-2,2].çã
Perguntas que precisamos responder:
  • Quais são os pontos de máximo (relativo e absoluto) de f em [-2,2]?
  • Quais são os pontos de mínimo (relativo e absoluto) de f em [-2,2]?

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática): em um intervalo fechado, para achar máximos e mínimos absolutos de uma função diferenciável, basta:
  1. Encontrar os pontos críticos na parte interna do intervalo — ou seja, os x tais que f'(x)=0 ou onde f' não existe.
  2. Avaliar f nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo.
  3. Comparar os valores; o maior valor dá o máximo absoluto e o menor valor dá o mínimo absoluto.
Agora vamos aplicar isso passo a passo. Primeiro precisamos da derivada f'(x). Vou explicar a regra usada: se temos \,f(x)=e^{g(x)}, a derivada é \,f'(x)=g'(x)e^{g(x)} (essa é a regra da cadeia: derivada da exponencial vezes a derivada do expoente).
Aqui g(x)=-x^{2}. Então g'(x)=-2x. Aplicando a regra:

Passo 3

Cálculo da derivada:
f'(x)=g'(x)e^{g(x)} = (-2x)\,e^{-x^{2}} = -2x\,e^{-x^{2}}.
Observações úteis:
  • A função exponencial e^{-x^{2}} é sempre positiva para todo x, isto é, e^{-x^{2}}>0.
  • Portanto o sinal de f'(x) é dado pelo fator -2x.
Resolver f'(x)=0:
-2x\,e^{-x^{2}}=0.
Como e^{-x^{2}}\neq 0 para todo x, a única solução vem de -2x=0, ou seja
x=0.
Não há pontos onde f' seja indefinida (pois f' existe para todo x), então o único ponto crítico interior é x=0.

Passo 4

Análise do sinal de f'(x) para entender monotonicidade (isso ajuda a ver onde estão máximos/minimos locais):
  • Para x<0: temos -2x>0 e e^{-x^{2}}>0, logo f'(x)>0. Então f é crescente em (-2,0).
  • Para x>0: temos -2x<0 e e^{-x^{2}}>0, logo f'(x)<0. Então f é decrescente em (0,2).
Conclusão desta análise: a função cresce até x=0 e depois decresce, portanto x=0 é um ponto de máximo local (e, como veremos, absoluto no intervalo).

Passo 5

Teste da segunda derivada (confirmação): vamos derivar f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}} usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(-2x\big)\,e^{-x^{2}} + (-2x)\,\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}}\big).
Calculando cada parte:
\frac{d}{dx}\big(-2x\big)=-2, \qquad \frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}}\big)=(-2x)\,e^{-x^{2}}.
Substituindo:
f''(x) = -2\,e^{-x^{2}} + (-2x)\big((-2x)\,e^{-x^{2}}\big) = -2e^{-x^{2}} + 4x^{2}e^{-x^{2}} = \big(4x^{2}-2\big)e^{-x^{2}}.
Podemos reescrever:
f''(x)=2\big(2x^{2}-1\big)e^{-x^{2}}.
Avaliação em x=0:
f''(0)=2\big(2\cdot 0^{2}-1\big)e^{0}=2(-1)\cdot 1=-2<0.
Como f''(0)<0, a concavidade é para baixo em x=0, confirmando que x=0 é um máximo local.

Passo 6

Agora avaliamos a função nos candidatos (ponto crítico interior e extremos do intervalo) para encontrar máximos e mínimos absolutos.
Avaliações:
f(0)=e^{-0^{2}}=e^{0}=1.
f(2)=e^{-2^{2}}=e^{-4}.
f(-2)=e^{-(-2)^{2}}=e^{-4}.
Observação: e^{-4}=\dfrac{1}{e^{4}} é um número positivo menor que 1, então f(0)=1 é maior que f(\pm 2)=e^{-4}.

Passo 7

Comparando os valores:
  • Maior valor entre os avaliados: f(0)=1. Logo o máximo absoluto no intervalo [-2,2] ocorre em x=0.
  • Menor valor entre os avaliados: f(2)=f(-2)=e^{-4}. Como os dois extremos dão o mesmo valor mínimo, há mínimos absolutos em x=2 e x=-2.

Resposta

Máximo absoluto em x=0: f(0)=1.
Mínimos absolutos em x=\pm 2: f(\pm 2)=e^{-4}.

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