Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\int[\sqrt{4 t}+\cos (2 t)] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl[\sqrt{4t}+\cos(2t)\bigr]\,dt
usando técnica de substituição. Vamos precisar das fórmulas
\displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C
e
\displaystyle \int \cos(u)\,du = \sin(u)+C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes, já que a soma dentro da integral permite isso:
\int\bigl[\sqrt{4t}+\cos(2t)\bigr]\,dt =\int \sqrt{4t}\,dt \;+\;\int \cos(2t)\,dt.

Passo 3

Para \displaystyle \int \sqrt{4t}\,dt, fazemos a substituição
u = 4t, \quad du = 4\,dt, \quad dt = \frac{du}{4}.
Então
\int \sqrt{4t}\,dt =\int \sqrt{u}\;\frac{du}{4} =\frac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du =\frac{1}{4}\cdot\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}+C =\frac{1}{6}u^{\tfrac32}+C.
Voltando a t, fica
\int \sqrt{4t}\,dt =\frac{1}{6}(4t)^{\tfrac32} =\frac{1}{6}\cdot 8\,t^{\tfrac32} =\frac{4}{3}\,t^{\tfrac32}+C.

Passo 4

Para \displaystyle \int \cos(2t)\,dt, usamos
v = 2t, \quad dv = 2\,dt, \quad dt = \frac{dv}{2},
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\int \cos(2t)\,dt =\int \cos(v)\;\frac{dv}{2} =\frac{1}{2}\int \cos(v)\,dv =\frac{1}{2}\sin(v)+C =\frac{1}{2}\sin(2t)+C.

Resposta

\int\bigl[\sqrt{4t}+\cos(2t)\bigr]\,dt =\frac{4}{3}\,t^{\tfrac32}+\frac{1}{2}\sin(2t)+C.

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