Exercício 47. Usando a técnica por substituição, encontre as integrais indefinidas:
\int\left(\frac{2 z^{2}}{z^{3}+5}-\frac{3 z}{z^{2}-10}\right) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\Bigl(\frac{2z^{2}}{z^{3}+5}-\frac{3z}{z^{2}-10}\Bigr)\,dz
usando a técnica de substituição. Vamos separar em duas integrais:
I_{1}=\int\frac{2z^{2}}{z^{3}+5}\,dz \quad\text{e}\quad I_{2}=\int\frac{3z}{z^{2}-10}\,dz,
lembrando que há um menos na expressão original para I_{2}.

Passo 2

Para
I_{1}=\int\frac{2z^{2}}{z^{3}+5}\,dz
faremos a substituição \,u=z^{3}+5. Assim,
du=3z^{2}\,dz \quad\Longrightarrow\quad z^{2}\,dz=\frac{1}{3}\,du.
Logo,
I_{1} =\int\frac{2}{u}\,\frac{1}{3}\,du =\frac{2}{3}\int\frac{du}{u} =\frac{2}{3}\ln\bigl|u\bigr|+C_{1} =\frac{2}{3}\ln\bigl|z^{3}+5\bigr|+C_{1}.

Passo 3

Para
I_{2}=\int\frac{3z}{z^{2}-10}\,dz
faremos a substituição \,v=z^{2}-10. Então
dv=2z\,dz \quad\Longrightarrow\quad z\,dz=\frac{1}{2}\,dv.
Assim,
I_{2} =\int\frac{3}{v}\,\frac{1}{2}\,dv =\frac{3}{2}\int\frac{dv}{v} =\frac{3}{2}\ln\bigl|v\bigr|+C_{2} =\frac{3}{2}\ln\bigl|z^{2}-10\bigr|+C_{2}.

Passo 4

Voltando à integral original com o sinal menos em I_{2}, obtemos
\int\Bigl(\frac{2z^{2}}{z^{3}+5}-\frac{3z}{z^{2}-10}\Bigr)\,dz =I_{1}-I_{2} =\frac{2}{3}\ln\bigl|z^{3}+5\bigr| -\frac{3}{2}\ln\bigl|z^{2}-10\bigr| +C,
onde C=C_{1}-C_{2} é a constante geral de integração.

Resposta

\boxed{ \frac{2}{3}\ln\bigl|z^{3}+5\bigr| -\frac{3}{2}\ln\bigl|z^{2}-10\bigr| +C }

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